Question

[Hạ Vy]

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, H thuộc BC

a) CM tam giác ABC đồng dạng tam giác HAC

b) CM AH²= BH.HC

c) Kẻ phân giác BE của tam giác ABC E thuộc AC. Biết BH=9cm,HC=16 CM, tính độ dài AE,EC

Answer 1

[_Guiltykamikk_]

a) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

Chung \(\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\) tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC (g-g) (đpcm)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\)

Chung \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\) tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA (g-g)

Mà tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC ( câu a )

Suy ra tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC

\(\Rightarrow\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\Leftrightarrow HA^2=HB\times HC\left(đpcm\right)\)

c) Do \(AH^2=BH\times HC\)

\(\Leftrightarrow AH^2=9\times16\)

\(\Leftrightarrow AH^2=144\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{144}\)

\(\Leftrightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác AHC vuông tại H ta được :

\(AH^2+HC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow12^2+16^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=400\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{400}\)

\(\Leftrightarrow AC=20\left(cm\right)\)

  Ta có : \(BC=BH+HC=9+16=25\left(cm\right)\)

Do BE là phân giác của \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{EC}{BC}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{AE}{AB}=\frac{EC}{BC}=\frac{AE+EC}{9+25}=\frac{AC}{34}=\frac{20}{34}=\frac{10}{17}\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{BC}=\frac{10}{17}\Leftrightarrow\frac{EC}{25}=\frac{10}{17}\Leftrightarrow EC=\frac{250}{17}\left(cm\right)\)

Lại có : \(AE=AC-EC=20-\frac{250}{17}=\frac{90}{17}\left(cm\right)\)

Vậy độ dài đoạn thẳng EC là \(\frac{250}{17}\) cm ; AE là \(\frac{90}{17}\) cm