Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,Ta có :
\(AH\perp BC\left(GT\right)\Rightarrow\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^o\)
Mà \(\widehat{B}+\widehat{C=90^o}\)( Trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau )
\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{C}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^o\right)\)có :
AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ( GT )
\(\Rightarrow AM=MC=\frac{1}{2}BC\)( Tính chất )
Vì \(AM=MC\)
\(\Rightarrow\Delta AMC\)cân tại M ( Định nghĩa )
\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{C}\)( Tính chất ) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\left(DPCM\right)\)
a) Xét ∆ vuông ABC có
AM là trung tuyến
=> AM = BM = CM
=> ∆AMC cân tại M
=> MAC = MCA
Xét ∆ABH có :
BHA + BAH + ABH = 180°
=> BAH + ABH = 90°
Xét ∆ABC có :
ABC + BCA + BAC = 180°
=> ABC + ACB = 90°
=> BAH = MCA
Mà MAC = MCA (cmt)
=> BAH = MAC
b) Gọi I là giao điểm DE và AH
Xét tứ giác DHEA có :
BAC = 90° (gt)
MDA = 90° ( MD\(\perp\)AB )
HEA = 90° ( HE\(\perp\)AC)
=> DHEA là hình chữ nhật
=> I là trung điểm DE và HA
=> DI = IA
=> ∆IDA cân tại I
=> IDA = IAD (1)
Vì MAC = MCA (2) (cmt)
Ta có :
DAI + MAC = 90°
MCA + MAC = 90°
=> DAI = MCA ( cùng phụ với MAC )(3)
Từ (1) (2)(3)
=> DAI = MAC = MCA
Vì I là trung điểm DE
=> ∆IAE cân tại I
=> IAE = IEA
Gọi giao điểm DE,AM là O
Xét ∆ADE có :
DAE + ADE + DEA = 180°
=> ADE + DEA = 90° .
Mà IAE = IEA (cmt)
MAC = ADI (cmt)
=> MAE + IEA = 90°
Xét ∆IAE có :
IAE + IEA + AIE = 180°
=> AIE = 90°
Hay AM \(\perp\)DE(dpcm)
a, Vì \(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\) nên AEHD là hcn
Do đó AH=DE
b, Vì \(\widehat{HAB}=\widehat{MCA}\) (cùng phụ \(\widehat{CAH}\))
Mà \(\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\) (do \(AM=CM=\dfrac{1}{2}BC\) theo tc trung tuyến ứng ch)
Vậy \(\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\)
c, Gọi O là giao AM và DE
Vì AEHD là hcn nên \(\widehat{HAB}=\widehat{ADE}\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ADE}\)
Mà \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}=90^0\left(\Delta AED\perp A\right)\) nên \(\widehat{MAC}+\widehat{ADE}=90^0\)
Xét tam giác AOE có \(\widehat{AOE}=180^0-\left(\widehat{MAC}+\widehat{ADE}\right)=90^0\)
Vậy AM⊥DE tại O
Xét tứ giác ADHE, ta có:
∠ A = 90 0 (gt)
∠ (ADH) = 90 0 (vì HD ⊥ AB)
∠ (AEH) = 90 0 (vì HE ⊥ AC)
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
+ Xét ∆ ADH và ∆ EHD có :
DH chung
AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)
∠ (ADN) = ∠ (EHD) = 90 0
Suy ra: ∆ ADH = ∆ EHD (c.g.c)
⇒ ∠ A 1 = ∠ (HED)
Lại có: ∠ (HED) + ∠ E 1 = ∠ (HEA) = 90 0
Suy ra: ∠ E 1 + ∠ A 1 = 90 0
∠ A 1 = ∠ A 2 (chứng minh trên) ⇒ ∠ E 1 + ∠ A 2 = 90 0
Gọi I là giao điểm của AM và DE.
Trong ∆ AIE ta có: ∠ (AIE) = 180o – ( ∠ E 1 + ∠ A 2 ) = 180 0 - 90 0 = 90 0
Vậy AM ⊥ DE.
B A C M H D E I K \(a\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A có :
\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
\(\Delta ABH\) vuông tại H có :
\(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{C}\) \(\left(2\right)\)
\(Xét\) \(\Delta ABC\) vuông tại A có :
Có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (gt)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\) ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền )
\(\Rightarrow AM=CM\)
\(\Rightarrow\Delta ACM\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{MAC}\) \(\left(2\right)\) ( 2 góc đáy)
\(Từ\) \(^{\left(1\right)}và^{\left(2\right)}\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\left(đpcm\right)\)
\(b\ \)
Gọi giao điểm của AH và DE là I , giao điểm của AM và DE là K
TỨ giác ADHE có :
\(\cdot\) AH ⊥BC ( AH là đường cao)
\(\cdot\) HE ⊥ AC ( E là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AC)
\(\cdot HD\perp AB\) ( D là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB)
\(\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật
Mà I là giao điểm của AH và DE
Theo tính chất hình chữ nhật
\(\Rightarrow I\) là trung điểm AH , DE và AH = DE
\(\Rightarrow AI=IE\)
\(\Rightarrow\Delta AIE\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\) ( 2 góc đáy)
Mà đồng thời ta có \(^{\left(2\right)}\)
\(\Rightarrow\widehat{IEA}+\widehat{MAC}=\widehat{IAE}+\widehat{C}\)
Trong \(\Delta ACH\) vuông tại H có :
\(\widehat{IAE}+\widehat{C}=90^0\) ( trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
\(\Rightarrow\widehat{IEA}+\widehat{MAC}=90^0\)
\(\Rightarrow AK\perp DE\) hay \(AM\perp DE\left(đpcm\right)\)