Question

[Toán Hình THCS]

cho tam giác ABC vuông tại A ( ab<ac)  đường cao AH . Trên nửa mạt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F . CMR:

a, tứ giác AEHF là hình chữ nhạt

b, EF là tiếp tuyến chung của 2 đg tròn đường kính BH và CH 

c, tứ giác BCFE nội tiếp

ko cầnvẽ hình nha

Answer 1

[Aug.21]

a, Ta có : \(\widehat{HEB}=\widehat{HFC}=1v\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

\(\Rightarrow\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{EAF}=1v\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b, Gọi O và O' lần lượt là trung điểm của HB và HC .

Ta có O là trung tâm đường tròn đường kính HB và O' là tâm dường tròn đường kính HC

\(\Rightarrow\widehat{HEO}=\widehat{EHO}\)( Tam giác EHO cân)

     \(\widehat{FEH}=\widehat{FHE}\) ( Tam giác IHE cân )

\(\Rightarrow\widehat{FEH}+\widehat{HEO}=\widehat{FHE}+\widehat{EHO}=90^0\Rightarrow OE\perp EF\)

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Chứng minh tương tự ta có EF là tiếp tuyến của đường tròn (O')

c, Ta có: \(\widehat{EBC}=\widehat{FAH}\)( góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

               \(\widehat{FAH}=\widehat{AFE}\)( Tam giác AIF cân )

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{AFE}\)mà \(\widehat{AFE}+\widehat{EFC}=2v\)( Kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{EBC}+\widehat{EFC}=2v\)

Vậy tứ giác BCFE nội tiếp.

Answer 2

[๖ۣۜNɦσƙ ๖ۣۜTì]

a. Ta có : ÐBEH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAEH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAFH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

ÐEAF = 90⁰ ( Vì tam giác  ABC vuông tại A) (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).

b.Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => ÐE₁ = ÐH₁ .

DO₁EH cân tại O₁ (vì có O₁E vàO₁H cùng là bán kính) => ÐE₂ = ÐH₂.

=> ÐE₁ + ÐE₂ = ÐH₁ + ÐH₂ mà ÐH₁ + ÐH₂ = ÐAHB = 90⁰ => ÐE₁ + ÐE₂ = ÐO₁EF = 90⁰

=> O₁E ^EF .

Chứng minh tương tự ta còng có O₂F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  .

c.  Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn =>ÐF₁=ÐH₁ (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  (O₁) và (O₂)     

 => ÐB₁ = ÐH₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ÐB₁= ÐF₁ => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC màÐAFE + ÐEFC = 180⁰ (vì là hai góc kề bù) => ÐEBC+ÐEFC = 180⁰  mặt khác ÐEBC và ÐEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.