Question

[Neawgate]

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.

a. Chứng minh AD. AB = AE. AC.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE là tiếp tuy

c. Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH. Giả sử AB = 6 cm,AC = 8 cm. Tính độ dài PQ.

Answer 1

[Hoàng Phong]

a) Xét tứ giác ADHE có: \(\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\)

=> ADHE là hình chữ nhật

=> \(\widehat{DAH}=\widehat{DEH}\)

Ta lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}+\widehat{DEH}=90^o\\\widehat{ABC}+\widehat{DAH}=90^o\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

Xét tam giác AED và ABC

Ta có: Góc A chung

\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\) (cmt)

=> Tam giác AED và ABC đồng dạng (g-g)

=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AB=AE.AC\) (Đpcm)

b) Ghi rõ lại đề cần chứng minh

c) Xét tam giác HEC vuông tại E có đường trung tuyến EN ( HN = CN )

=> EN = CN = HN nên tam giác ENC cân tại N

=> Góc NEC = Góc NCE hay góc NEC = góc ACB

Mà góc ACB = góc DAH ( cùng phụ với góc HAC )

Do đó: Góc NEC = Góc DAH, Góc DAH = Góc DEH ( vì ADHE là hình chữ nhật nên là tứ giác nội tiếp )

=> Góc NEC = Góc DEH => Góc NEC + góc HEN = Góc DEH + góc HEN

=> Góc DEN = 90 độ

CMTT: Góc MDE = 90 độ

=> DMNE là hình thang vuông

Xét hình thang vuông DMNE có: DQ = DE ( do hình chữ nhật ADEH )

MP = PN ( do P là trung điểm của MN )

=> QP là đường trung bình của hình thang vuông DMNE

=> \(QP=\frac{\left(DM+EN\right)}{2}\)

Từ giả thuyết AB = 6, AC = 8, áp dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được: BC = 10; AH = 4,8 ; BH = 3,6; CH = 6,4

Vì tam giác BDM, HEC vuông lần lượt có các đường trung tuyến DM, EN

Nên: DM = 1/2BH = 1/2.3,6 = 1,8

EN = 1/2CH=1/2.6,4 = 3,2

Do đó: PQ = ( 1,8 + 3,2)/2 = 2,5 (cm)

Answer 2

[Hoàng Phong]

Câu b chứng minh DE là tiếp tuyến chung của (M;MD) và (N;NE) thì áp dụng phần đầu của câu c là chứng minh vuông.