Question

[Quỳnh Hoa Lenka]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy M. Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E.Chứng minh rằng:

a. EB.ED = EA.EC

b. BD . BE + CA. CE = BC²

c. Góc ADE = 45^o

Answer 1

[Phương An]

a)

Tam giác AEB vuông tại A và tam giác DEC vuông tại D có:

AEB = DEC

=> Tam giác AEB ~ Tam giác DEC (g - g)

=> \(\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{EB}{EC}\)

=> EB . DE = AE . EC

b)

Tam giác EBC có: CD là đường cao và BA là đường cao

CD cắt BA tại M

=> M là trực tâm của tam giác EBC

=> EM _I_ tại H (H thuộc BC)

Tam giác HBE vuông tại H và tam giác DBC vuông tại D có:

HBE = DBC

=> Tam giác HBE ~ Tam giác DBC (g - g)

=> \(\dfrac{HB}{DB}=\dfrac{BE}{BC}\)

=> DB . BE = HB . BC

Tam giác HCE vuông tại H và tam giác ACB vuông tại A có:

HCE = ACB

=> Tam giác HCE ~ Tam giác ACB (g - g)

=> \(\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{CE}{CB}\)

=> HC . CB = AC . CE

Ta có : DB . BE + AC . CE = HB . BC + HC . CB = BC . (HC + HB) = BC . BC = BC²

c)

Tam giác EDA và tam giác ECB có:

DEA = CEB

\(\dfrac{DE}{CE}=\dfrac{EA}{EB}\) (EB . DE = AE . EC)

=> Tam giác EDA ~ Tam giác ECB (c - g - c)

=> ADE = BCE = 45⁰ (tam giác ABC vuông cân tại A)