Question

[Ha Thu]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. điểm D thuộc AB. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại H , đường thẳng BH cắt CA tại E
a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp
b. Tính góc AHE.
c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.
 

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a. Xét tứ giác $AHBC$ có $\widehat{BHC}=\widehat{BAC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $AHBC$ là tứ giác nội tiếp.

b.

Do $AHBC$ là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{EHA}=\widehat{ACB}=45^0$ (do $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$)

c.

Xét tam giác $EAH$ và $EBC$ có:

$\widehat{E}$ chung

$\widehat{EHA}=\widehat{ACB}=\widehat{ECB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle EAH\sim \triangle EBC$ (g.g)

d.

Xét tứ giác $ADHE$ có tổng hai góc đối $\widehat{EHD}+\widehat{DAE}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow ADHE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{EHA}=45^0$

Tam giác $EDA$ có $\widehat{A}=90^0$ và $\widehat{D}=45^0$ nên $EDA$ là tam giác vuông cân tại $A$

$\Rightarrow AD=AE$

Answer 2

[Hello!]

a. Ta có ∠HAB = ∠HCB (cùng chắn cung HB) và ∠HBA = ∠HCA (cùng chắn cung HA). Do đó, tứ giác AHBC nội tiếp.

b. Góc AHE = 90° - ∠AEB = 90° - ∠ACB = ∠ABC = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A).

c. Ta có ∠EHA = ∠EBC (cùng chắn cung EB) và ∠EAH = ∠EBA = ∠EBC (vì tam giác ABC vuông cân tại A). Do đó, tam giác EAH và EBC đồng dạng.

d. Vì tam giác EAH và EBC đồng dạng nên EA/EB = AH/BC. Nhưng AH = BC (vì tam giác ABC vuông cân tại A) nên EA = EB. Mà AB = AE + EB = 2EA. Do đó, AD = AB/2 = EA = AE.