Question

[tràn thị trúc oanh]

Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý .gọi A ', B' , C' lần lượt là điểm đối xứng của M qua các điểm qua các trung điểm K,I,J của các cạnh BC ,CA ,AB

a Chứng minh ba đường thẳng AA' , BB' , CC' đồng quy tại N

b ) Chứng minh khi M di động ,MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

a) Do A'M và BC cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường nên tứ giác A'BMC là hình bình hành
\(\Rightarrow MC//A'B;MC=A'B\). (1)

Tương tự ta có \(MC//AB';MC=AB'\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB'//A'B;A'B=AB'\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AB'A'B là hình bình hành

\(\Rightarrow\) AA' và BB' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Tương tự, BB' và CC' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy AA', BB', CC' đồng quy.

b) Gọi G là giao điểm của AK và MN.

\(\Delta AMA'\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}KA'=KM\\NA=NA'\\G\in AK\cap MN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác AMA'

\(\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AK\).

\(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}KB=KC\\G\in AK\\AG=\frac{2}{3}AK\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.