Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D I M
a)
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\).
b)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}\)\(=\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(1-x\right)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\).
c) A, M, I thẳng hàng khi và chỉ khi hai véc tơ \(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AI}\) cùng phương
hay \(\dfrac{1-x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{x}{\dfrac{3}{8}}\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\left(1-x\right)=\dfrac{1}{2}x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{8}x=\dfrac{3}{8}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{7}\).
Lời giải:
a) Bạn vẽ hình ra cho dễ tưởng tượng nhé!
Để ý rằng: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OA}\\ \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OB}\\ \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OC}\\ \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OD}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
Vì $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ nên :
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) (các cặp vector đối nhau)
Do đó, \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}\)
Suy ra \(\overrightarrow {MS}=4\overrightarrow {MO}\), kéo theo \(M,O,S\) thẳng hàng (theo thứ tự)
Do đó \(MS\) luôn quay quanh một điểm cố định là $O$
b)
Lấy điểm \(I\) thỏa mãn: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=0\)
Vì \(A,B,C,D\) cố định nên \(I\) cố định.
Ta có:
\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}|\)
\(=|4\overrightarrow{MI}|=a\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\frac{a}{4}\)
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn \(M\) là đường tròn tâm $I$ bán kính \(\frac{a}{4}\)
c) Ta có:
\(|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}|=|\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{NO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OD}|\)
\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{OB}|=|2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}|\) \((1)\)
Gọi \(I,K\) là trung điểm của \(AB,CD\) thì:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\\ \overrightarrow {KC}+\overrightarrow{KD}=0\end{matrix}\right.\)
Có
\((1)\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KD}|\)
\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+2\overrightarrow{OI}|=|2\overrightarrow{NO}+2\overrightarrow{OK}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OI}|=|\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OK}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{NI}|=|\overrightarrow{NK}|\)
Do đó tập hợp điểm N nằm trên đường trung trực của \(IK\)
Bài 1 và Bài 2 tương tự nhau nên mk sẽ chỉ CM bài 1 thôi nha
Có \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)
Bài 3:
Xét \(\Delta AIP\) theo quy tắc trung điểm có:
\(\overrightarrow{IC}=\frac{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IP}}{2}\)
Làm tương tự vs các tam giác còn lại
\(\Rightarrow\overrightarrow{IB}=\frac{\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IC}}{2}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\frac{\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}}{2}\)
Cộng vế vs vế
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\frac{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IP}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IP}\left(đpcm\right)\)