Question

[Thư Nguyễn Anh]

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC.

a ) Chứng minh : AD=12DCAD=12DC

b ) So sánh độ dài BD và ID
giúp mình với !

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Gọi K là trung điểm của DC

Xét ΔCBD có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của DC

Do đó: MK là đường trung bình của ΔCBD

Suy ra: MK//BD và \(MK=\dfrac{BD}{2}\)

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

Suy ra: AD=DK

mà DK=KC

nên AD=DK=KC

\(\Leftrightarrow AD=DK=KC=\dfrac{AC}{3}\)

\(\Leftrightarrow DK+DC=\dfrac{AC}{3}+\dfrac{AC}{3}=\dfrac{2}{3}AC\)

\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{1}{2}CD\)(đpcm)

b) Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình của ΔAMK

Suy ra: \(ID=\dfrac{MK}{2}\)

mà \(MK=\dfrac{BD}{2}\)

nên \(ID=\dfrac{\dfrac{BD}{2}}{2}=\dfrac{BD}{4}\)

\(\Leftrightarrow BD=4\cdot ID\)(đpcm)