Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC và 1 điểm M trên cạnh BC. Khi đó: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}\)
Thật vậy, ta có \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\left(1-\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{CM}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}\), bổ đề 1 được chứng minh.
Gọi P là giao điểm của AI và BC. Ta có:
\(\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{NC}{NA}=1\) \(\Rightarrow x.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{1}{y}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{y}{x}\) \(\Rightarrow\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{x}{x+y}\)
Mặt khác, \(\dfrac{IP}{IA}.\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{CB}{CP}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IP}{IA}.x.\dfrac{x+y}{x}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IP}{IA}=\dfrac{1}{x+y}\)
Do đó \(\overrightarrow{AI}=\left(x+y\right)\overrightarrow{IP}\)
Mà theo bổ đề 1: \(\overrightarrow{IP}=\dfrac{PC}{BC}\overrightarrow{IB}+\dfrac{PB}{BC}\overrightarrow{IC}\)
\(=\dfrac{x}{x+y}\overrightarrow{IB}+\dfrac{y}{x+y}\overrightarrow{IC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}\) (đpcm)
\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CP}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)
\(=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)