Question

[Sakura kinomoto]

cho tam giác ABC phân giác trong đỉnh A cắt bc tại D trên các đoạn thẳng BD, CD lần lượt lấy các điểm E và F sao cho góc EAD= góc FAD. chứng minh rằng BE/CE . BF/CF = AB^2/AC^2

Answer 1

[Phạm Hồng Hạnh]

Bước 1: Sử dụng định lý phân giác Giả sử rằng 𝐴 𝐷 AD là phân giác trong tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC, cắt cạnh 𝐵 𝐶 BC tại điểm 𝐷 D. Theo định lý phân giác, ta có: 𝐵 𝐷 𝐷 𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 DC BD ​ = AC AB ​ Điều này nói rằng tỉ số đoạn 𝐵 𝐷 BD và 𝐷 𝐶 DC bằng tỉ số cạnh 𝐴 𝐵 AB và 𝐴 𝐶 AC. Bước 2: Sử dụng góc EAD = góc FAD Từ đề bài, ta có ∠ 𝐸 𝐴 𝐷 = ∠ 𝐹 𝐴 𝐷 ∠EAD=∠FAD. Điều này có nghĩa là các điểm 𝐸 E và 𝐹 F nằm trên các đoạn 𝐵 𝐷 BD và 𝐶 𝐷 CD, sao cho các tam giác 𝐴 𝐵 𝐸 ABE và 𝐴 𝐶 𝐹 ACF có các góc tại đỉnh 𝐴 A bằng nhau. Bước 3: Áp dụng định lý về tỉ số các đoạn thẳng Vì ∠ 𝐸 𝐴 𝐷 = ∠ 𝐹 𝐴 𝐷 ∠EAD=∠FAD, ta có thể áp dụng định lý tương tự như định lý phân giác, và nó dẫn đến sự tương ứng giữa các đoạn thẳng của tam giác 𝐴 𝐵 𝐸 ABE và 𝐴 𝐶 𝐹 ACF và các cạnh của tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC. Cụ thể, ta có: 𝐵 𝐸 𝐶 𝐸 = 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 v a ˋ 𝐵 𝐹 𝐶 𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 CE BE ​ = AC AB ​ v a ˋ CF BF ​ = AC AB ​ Bước 4: Kết luận Do đó, ta có: 𝐵 𝐸 𝐶 𝐸 ⋅ 𝐵 𝐹 𝐶 𝐹 = ( 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 ) 2 = 𝐴 𝐵 2 𝐴 𝐶 2 CE BE ​ ⋅ CF BF ​ =( AC AB ​ ) 2 = AC 2 AB 2 ​ Vậy ta đã chứng minh được rằng 𝐵 𝐸 𝐶 𝐸 ⋅ 𝐵 𝐹 𝐶 𝐹 = 𝐴 𝐵 2 𝐴 𝐶 2 CE BE ​ ⋅ CF BF ​ = AC 2 AB 2 ​ .