Question

[Bùi Anh Khoa]

Cho tam giác ABC. Ở miền ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác ABD và tam giác ACE là tam giác vuông tại A có AD=AB, AE=AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Tia HK cắt DE tại K, tia MA cắt DE tại I. Chứng minh rằng:

a) AI vuông góc với DE

b) KD=KE

Answer 1

[Đỗ Thị Dung]

a, trên tia đối của tia MA lấy O sao cho MO=MA

=> t. giác BMO=t.giác CMA(c.g.c)

=> BO=CA mà CA=AE => BO=AE(*) ; \(\widehat{MAC}\)=\(\widehat{O}\)

Ta có: \(\widehat{ABO}\)+ \(\widehat{BAO}\)+ \(\widehat{O}\)= 180 độ

=> \(\widehat{ABO}\)+ \(\widehat{BAO}\)+\(\widehat{MAC}\)=180 độ

=> \(\widehat{ABO}\)+\(\widehat{A}\)=180 độ

do \(\widehat{DAE}\)+\(\widehat{A}\)=180 độ 

=> \(\widehat{ABO}\)=\(\widehat{DAE}\)(**)

xét t.giác ABO và t.giác DAE có:

        BO=AE

        \(\widehat{ABO}\)=\(\widehat{DAE}\)

       AB=AE(gt)

=> t.giác ABO=t.giác DAE(c.g.c)

=> \(\widehat{BAO}\)=\(\widehat{ADE}\)mà \(\widehat{BAO}\)+\(\widehat{DAI}\)=90 độ => \(\widehat{ADE}\)+\(\widehat{DAI}\)=90 độ 

=> \(\widehat{DIA}\)=90 độ=> AI\(\perp\)DE

b)từ D kẻ DP\(\perp\)AH; từ E kẻ EQ\(\perp\)AH

ta có: t.giác AHB=t.giác DPA(CH-GN)=> DP=AH(1)

t.giác AEQ=t.giác CAH(CH-GN)=> QE=AH(2)

từ (1) và (2) suy ra DP=QE

xét 2 tam giác vuông PKD và QKE có: 

              DP=QE(cmt)

              \(\widehat{PDK}\)=\(\widehat{KEQ}\)(vì so le)

=> t.giác PKD=t.giác QKE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

=> KD=KE(2 cạnh tương ứng)

Answer 2

[Huong Ly]

Tại sao góc DEA + góc BAC lại bằng 180 độ ạ???