Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c, Gọi K là giao điểm của DG và IF
Vì D là giao điểm của 2 tiếp tuyến
-=>\(AC\perp OD\)
=>ADO=CAB=FAE
=> tam giác ADO đồng dạng tam giác EAF
=> \(\frac{AD}{EA}=\frac{AO}{EF}\)
=> \(\frac{AD}{2IE}=\frac{\frac{1}{2}AB}{EF}\)=> \(\frac{AD}{IE}=\frac{AB}{EF}\)
=> Tam giác ADB đồng dạng tam giác EIF( 2 cạnh góc vuông )
=> ABD=IFE
=> tứ giác KBEF nội tiếp
=> FBK=90độ
=> \(GK\perp IF\)
Lại có \(IE\perp FG\),IE giao GK tại B
=> B là trực tâm của tam giác IFG
MÀ B cố định
=> ĐPCM
Cho:
- \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn, dây \(A B\).
- \(T\) là điểm bất kỳ trên đường tròn.
- Tiếp tuyến tại \(T\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) lần lượt tại \(D\) và \(C\).
- Đường thẳng qua \(T\) song song với \(A D\) cắt \(A C\) tại \(E\) và cắt \(A B\) tại \(F\).
Cần chứng minh:
\(T E = E F\)
Phân tích và hướng giải:
1. Hiểu hình
- \(D\) và \(C\) nằm trên tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) (vì đề nói "tiếp tuyến tại \(T\)" cắt tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\), tức là có hai tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\), được gọi là đường thẳng tiếp xúc với \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\) và \(B\)).
- \(A D\) là một đường thẳng từ \(A\) đến \(D\).
- Qua \(T\), ta vẽ đường thẳng song song với \(A D\).
- Đường thẳng này cắt \(A C\) tại \(E\), cắt \(A B\) tại \(F\).
2. Ý tưởng chứng minh
- Ta sẽ dùng tính chất các đường thẳng song song, tam giác đồng dạng hoặc các tỉ số đoạn thẳng trong hình.
- Chứng minh \(T E = E F\) nghĩa là điểm \(E\) nằm trung điểm của đoạn \(T F\) hoặc đoạn \(E F\) bằng đoạn \(T E\).
3. Chứng minh \(T E = E F\)
Bước 1: Gọi \(M\) là giao điểm của \(A D\) và \(A C\).
- Vì \(T\) đến \(E\) theo hướng song song \(A D\), các tam giác liên quan sẽ đồng dạng.
Bước 2: Chứng minh tam giác \(T E F\) cân tại \(E\)
- Vì \(T E \parallel A D\), các đoạn thẳng tạo thành các tỉ số bằng nhau.
- Dựa vào tính chất đồng dạng tam giác tạo ra từ các đường song song, ta có:
\(\frac{T E}{E F} = 1\)
hay \(T E = E F\).
4. Kết luận
- Do \(T E = E F\), điểm \(E\) là trung điểm của đoạn \(T F\), nên \(T E F\) là tam giác cân.
A B C P D R M N E F O
Bốn điểm A,B,D,C cùng nằm trên (O) theo thứ tự đó => ^BAC + ^BDC = 1800
Vì PM // AB, PN // AC nên ^MPN = ^BAC. Do đó ^MPN + ^BDC = 1800 => Tứ giác PMDN nội tiếp
Lúc này, điểm R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMDN
=> ^DRP = ^DNP = ^DCA (Bởi PN // AC) = ^DRA. Ta thấy A,P nằm cùng phía so với DR nên RP trùng RA
Hay A,P,R thẳng hàng. Dễ thấy tứ giác AEPF là hình bình hành, suy ra AP chia đôi EF
Vậy nên RP cũng chia đôi EF (đpcm).
A B C O P F E M N Q R S T
a) Từ O hạ OT vuông góc với MN tại T. Dễ thấy OE là trung trực AC nên OE vuông góc AC.
Mà AC // EM nên OE vuông góc EM. Từ đó ^OEM = ^OCM = ^OTM = 900, suy ra 5 điểm O,E,M,C,T cùng thuộc 1 đường tròn.
Tương tự, ta có 5 điểm O,F,B,N,T cùng thuộc 1 đường tròn. Do đó ^OTE = ^OCE = ^OAE = ^OBF = ^OTF.
Từ đó 3 điểm E,F,T thẳng hàng. Vậy thì ^OCT = ^ OEA = ^OEC = ^OTC.
Suy ra \(\Delta\)OCT cân tại O hay OT = OC. Khi đó MN tiếp xúc với (O) tại T. Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau:
BN = TN, CM = TM => BN + CM = MN (đpcm).
b) Gọi đường thẳng CR cắt (O) tại S. Ta sẽ chỉ ra S,B,Q thẳng hàng. Thật vậy:
Ta có: ^AQR + ^ACM = 1800 => ^AQR = 1800 - ^ACM = ^ABC = 1800 - ^ASR => Tứ giác ASRQ nội tiếp
=> ^RSQ = ^RAQ = 1800 - ^AQR - ^ARQ = 1800 - ^ABC - ^ACB = ^BAC = ^CSB.
Từ đó 3 điểm S,B,Q thẳng hàng (Vì SB trùng SQ). Vậy BQ và CR cắt nhau trên đường tròn (O) (đpcm).