Question

[Incognito]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy điểm P bất kì nằm trong tam giác. Gọi trung trực của AC,AB cắt AP lần lượt ở E,F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến tại C của (O) ở M. Đường thẳng qua F song song với AB cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở N.

a) Chứng minh rằng BN + CM = MN ?

b) Đường thẳng MN cắt 2 đường tròn (ABN),(ACM) lần lượt tại R,Q. Chứng minh rằng BQ cắt CR tại một điểm nằm trên (O) ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Từ O hạ OT vuông góc với MN tại T. Dễ thấy OE là trung trực AC nên OE vuông góc AC.

Mà AC // EM nên OE vuông góc EM. Từ đó ^OEM = ^OCM = ^OTM = 90⁰, suy ra 5 điểm O,E,M,C,T cùng thuộc 1 đường tròn.

Tương tự, ta có 5 điểm O,F,B,N,T cùng thuộc 1 đường tròn. Do đó ^OTE = ^OCE = ^OAE = ^OBF = ^OTF.

Từ đó 3 điểm E,F,T thẳng hàng. Vậy thì ^OCT = ^ OEA = ^OEC = ^OTC.

Suy ra \(\Delta\)OCT cân tại O hay OT = OC. Khi đó MN tiếp xúc với (O) tại T.  Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau:

BN = TN, CM = TM => BN + CM = MN (đpcm).

b) Gọi đường thẳng CR cắt (O) tại S. Ta sẽ chỉ ra S,B,Q thẳng hàng. Thật vậy:

Ta có: ^AQR + ^ACM = 180⁰ => ^AQR = 180⁰ - ^ACM = ^ABC = 180⁰ - ^ASR => Tứ giác ASRQ nội tiếp

=> ^RSQ = ^RAQ = 180⁰ - ^AQR - ^ARQ = 180⁰ - ^ABC - ^ACB = ^BAC = ^CSB.

Từ đó 3 điểm S,B,Q thẳng hàng (Vì SB trùng SQ). Vậy BQ và CR cắt nhau trên đường tròn (O) (đpcm).