Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét (O) có :
AB là tiếp tuyến tại B
AC là tiếp tuyến tại C
AB cắt AC tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)và OA là p/g \(\widehat{BOC}\)
Xét tg ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)Mà 2 góc này đối nhau
\(\Rightarrow\)ABOC là tg nt
b) Xét (O) có
\(\widehat{ABE}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE
\(\widehat{BDE}\)là góc nt chắn cung BE
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)
Xét \(\Delta ABEvà\Delta ADB:\)
\(\widehat{BAD}\)chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\infty\Delta ADB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)
c) Vì OA là p/g \(\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Do ABOC là tg nt\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BCA}\)(cùng chắn cung AB)
Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{ACB}\)
A B C O M N E K T
a) Có ^AOB = 1800 - ^OAB - ^OBA = 1800 - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 900 + (1800 - ^BAC - ^ABC)/2 = 900 + ^ACB/2
b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 900) (1)
Ta có ^AOK = 1800 - ^AOB = 1800 - (900 + ^ABC/2) = 900 - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)
=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T
Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)
Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)
=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).
a, ta có \(\widehat{ADB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => \(\widehat{ADB}=90^0\)hay \(\widehat{EDB}=90^0\)
Xét tứ giác BDEH có :
\(\widehat{EHB}=90^0\left(CH\perp AB\right)\)
\(\widehat{EDB}=90^0\left(cmt\right)\)
=> tugiac BDEH noi tiep
b,
ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)( BDEH noitiep cmt)
mà \(\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90^0\)(góc ACB=90 độ, góc nt chắn nửa đg tròn)
\(\widehat{ACH}+\widehat{CAB}=90^0\)( góc AHC=90 độ vì CH vuông với AB)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACH}\)
=> \(\widehat{ACH}=\widehat{ADC}\left(=\widehat{ABC}\right)\)hay góc ADC= góc ACE
Xét tam giác ACE và tam giác ADC
\(\widehat{ADC}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
góc CAD chung
=> tam giác ACE đồng dạng với tam giác ADC (g-g)
=> \(\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\)
=> \(AC^2=AD.AE\)(1)
Tam giác ABC vuông tại C có AH là đường cao
=> BC2= BH.BA (hethucluong) (2)
(1);(2) => \(AC^2+BC^2=AE.AD+BH.BA\)
mà AC2+ BC2= AB2 ( pytago trong tam giác ABC vuông ở C)
=> \(AB^2=AE.AD+BH.BA\)
a) Giả sử AB < AC. (Các trường hợp khác chứng minh tương tự)
Ta có tam giác CEF cân tại C nên \(\widehat{CEF}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)
Ta có \(\widehat{MIB}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)
Hay \(\widehat{MEB}=\widehat{MIB}\). Suy ra tứ giác EMBI là tứ giác nội tiếp.
\(\widehat{IMB}=\widehat{IEB}=90^o\Rightarrow MB\perp AI.\)
b) Chứng minh tương tự \(\widehat{ANI}=90^o\Rightarrow\) tứ giác ANMB nội tiếp đường tròn đường kính AB cố định.
Mà \(\widehat{MBN}=90^o-\widehat{MIB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\alpha}{2}=const\)
Do MN là dây cung chắn một góc không đổi trên đường tròn đường kính AB nên độ dài MN không đổi.
c) Gọi O là trung điểm AB thì \(\widehat{MON}=2.\widehat{MBN}=\alpha\)
Do tứ giác IMBD nội tiếp nên \(\widehat{IDM}=\widehat{IBM}=\frac{\alpha}{2}\)
Tương tự : \(\widehat{IDN}=\frac{\alpha}{2}\)
Do đó \(\widehat{MDN}=\alpha=\widehat{NOM}\)
Suy ra tứ giác MNDO nội tiếp hay O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua điểm O cố định khi C thay đổi.