Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
b: góc DFC=góc EBC
góc EFC=góc DAC
góc EBC=góc DAC
=>góc DFC=góc EFC
\({}\)
a) Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự như thế, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB. Cũng có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\) nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{BEM}\)
\(=\left(90^o-\widehat{IEA}\right)+\widehat{EBC}\)
\(=90^o-\widehat{EAD}+\widehat{EBD}=90^o\) (do \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\))
Vậy \(IE\perp ME\)
b) Dễ thấy các điểm I, D, E, F, M, K cùng thuộc đường tròn đường kính IM. Gọi J là trung điểm AI thì I chính là tâm của đường tròn (AIK) nên (J) tiếp xúc với (I) tại A. Dẫn đến A nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J)
Mặt khác, ta có \(SK.SI=SE.SF\) nên \(P_{S/\left(I\right)}=P_{S/\left(J\right)}\) hay S nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J). Suy ra AS là trục đẳng phương của (I) và (J). \(\Rightarrow\)\(AS\perp IJ\) hay AS//BC (đpcm).
c) Ta thấy tứ giác AKEP nội tiếp đường tròn AP
\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{MKE}=\widehat{MDE}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\Delta BAE~\Delta BPA\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{BEA}=90^o\)
\(\Rightarrow\) AP//QH \(\left(\perp AB\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IAP}=\widehat{IHQ}\) (2 góc so le trong)
Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IAP=\Delta IHQ\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow IP=IQ\) hay I là trung điểm PQ (đpcm)
Gọi G là giao điểm của FC và AK.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác FBC với cát tuyến A, G, K ta có:
\(\dfrac{AF}{AB}.\dfrac{KB}{KC}.\dfrac{GC}{GF}=1\Rightarrow\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{AB}{AF}\). (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB với cát tuyến K, E, F ta có:
\(\dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{FB}{FA}=1\Rightarrow\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (2)
Từ (1), (2) có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AB}{FB}\). (*)
Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AFC với cát tuyến B, H, E ta có:
\(\dfrac{HC}{HF}.\dfrac{BF}{BA}.\dfrac{EA}{EC}=1\Rightarrow\dfrac{HC}{HF}=\dfrac{AB}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (**)
Từ (*), (**) ta có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{HC}{HF}\Rightarrow\dfrac{AC}{MF}=\dfrac{AC}{NF}\Rightarrow FM=FN\).
