Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $ID$, $IE$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$.

Answer 1

[Nhật Nam]

Do ^AEH=^ADH=90o nên tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AED chính là đường tròn đường kính AH.

Do H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm. Thế thì AH ⊥ BC.
Suy ra  ^DAH=^DBC (vì cùng phụ với góc ^DCB).
Tam giác BDC vuông tại D có I là trung điểm của BC nên IB = ID = IC.
Suy ra tam giác IBD cân ở I.  Vì vậy ^IDB=^DBI.
Từ đó suy ra: ^HAD=^HBI=^BDI  hay  ^HAD=^HDI.

Gọi J là trung điểm AH. Ta có ^HAD=^JDA⇒^JDA=^HDI.

Vậy nên ^JDI=^HDI+^JDH=^JDA+^FDH=^ADH=90o.
Suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Chứng minh tương tự ta cũng có EI là tiếp tuyến của đường kính AH.

Answer 2

[Phương Vy]

Do $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o$ nên tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AED chính là đường tròn đường kính AH.

Do H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm. Thế thì AH $\perp$ BC.
Suy ra  $\widehat{DAH}=\widehat{DBC}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{DCB}$).
Tam giác BDC vuông tại D có I là trung điểm của BC nên IB = ID = IC.
Suy ra tam giác IBD cân ở I.  Vì vậy $\widehat{IDB}=\widehat{DBI}$.
Từ đó suy ra: $\widehat{HAD}=\widehat{HBI}=\widehat{BDI}$  hay  $\widehat{HAD}=\widehat{HDI}$.

Gọi J là trung điểm AH. Ta có $\widehat{HAD}=\widehat{JDA}\Rightarrow \widehat{JDA}=\widehat{HDI}$.

Vậy nên $\widehat{JDI}=\widehat{HDI}+\widehat{JDH}=\widehat{JDA}+\widehat{FDH}=\widehat{ADH}=90^o$.
Suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Chứng minh tương tự ta cũng có EI là tiếp tuyến của đường kính AH.