Question

[Nguyễn Minh Huy]

Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC, nội tiếp đường tròn (O). Ah là đường cao, đường phân giác của góc A cắt BC tại i, cắt (O) tại M. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại K

a)chứng minh rằng: 1)KA^2=KB.KC 2)AM là phân giác góc OAH

b)MO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ 2 N, kẻ OE vuông góc với NC(E thuộc NC). Chứng minh OE=BM/2

c)Xem A,K,O là các điểm cố định, còn KBC là cát tuyến của đường tròn (O). Khi cát tuyến KBC quay quang K thì điểm I di động trên đường nào?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C O K H I M N E

a) Xét đường tròn (O): Tiếp tuyến KA, cắt tuyến KBC => KA² = KB.KC (Hệ thức lượng đường tròn) (đpcm).

Ta có ^BAC nội tiếp (O), AM là phân giác ^BAC, M thuộc (O) nên M là điểm chính giữa cùng BC không chứa A

Do đó OM vuông góc BC. Mà AH vuông góc BC nên AH // OM => ^HAM = ^OMA = ^OAM

Suy ra AM là phân giác của ^OAH (đpcm).

b) M là điểm chính giữa cung BC của (O) nên BM = CM

Do MO cắt (O) tại N khác M nên O là trung điểm MN và MN là đường kính của (O)

Khi đó ^NCM = 90⁰ hay CM vuông góc CN. Mà OE vuông góc NC nên OE // CM

Từ đó OE là đường trung bình của \(\Delta\)MNC => OE = CM/2. Hay OE = BM/2 (đpcm).

c) Có A,K,O là các điểm cố định => Độ dài các đoạn KA,OK,OA không đổi

Theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây => ^KAB = ^ACB. Ta có biến đổi góc:

^KIA = ^IAC + ^ICA = ^IAB + ^ACB = ^IAB + ^KAB = ^KAI => \(\Delta\)AKI cân tại K => KI = KA

Mà độ dài KA không đổi (cmt) nên độ dài KI cũng không đổi. Đồng thời có đường tròn (K,KA) cố định.

Do vậy I nằm trên đường tròn (K,KA) cố định. Hay I di động trên (K,KA) cố định khi cát tuyến KBC quay quanh K.