Question

[Phú Phan Đào Ngọc]

Cho  tam giác ABC nhọn, các đường cao AD,BE, CF cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB).

a)Chứng minh: \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\)

b) Tính \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}\)

Answer 1

[Đặng Tú Phương]

A B C F D E H

a,Ta có \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HD.BC}{\frac{1}{2}AD.BC}=\frac{HD}{AD}\)

tương tự \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HE}{BE};\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HF}{CF}\)

\(\Rightarrow\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)

b, bổ sung đề rồi mình làm tiếp cho ạ

Answer 2

[Trí Tiên]

Câu b) em có cách này cô ạ, cô check giùm em xem có đúng không ạ :

Ta có : \(\frac{HA}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABC}}\)

( Tính chất dãy tỉ số bằng nhau )

Tương tự ta có :

\(\frac{HB}{BE}=\frac{S_{AHB}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\), \(\frac{HC}{CF}=\frac{S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Khi đó : \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=\frac{2\left(S_{ABH}+S_{AHC}+S_{BHC}\right)}{S_{ABC}}=\frac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\)

Vậy : \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=2\)