Question

[lan cute]

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB, AC. Gọi O là giao điểm của EF và AD.

    Chứng minh rằng:

         a)  AE.AC = AF.AB  và  AI.AB = AK. AC

         b) Chứng minh:  AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACB

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

a) +) Ta có \(\Delta ABE\) vuông tại E và \(\Delta ACF\) vuông tại F ( vì BE và CF là hai đường cao của ∆ABC)  

\(\Rightarrow cosBAC=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)

   +) \(\Delta ADC\) vuông tại D có DK là đường cao  \(\Rightarrow\)AD² = AK.AC

 Lại có \(\Delta ADB\) vuông tại D có DI là đường cao \(\Rightarrow\) AD² = AI.AB

 Suy ra: AI.AB = AK. AC 

b) Ta có \(\Delta ADB\) vuông tại D \(\Rightarrow sinABC=\frac{AD}{AB}\) 

Lại có \(\Delta CBE\) vuông tại E và \(\Delta AHE\) vuông tại E

 mà \(\widehat{AHE}=\widehat{C}\)( cùng bù \(\widehat{DHE}\)) \(\Rightarrow sinABC=\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AH}\)

 \(\Rightarrow\frac{cosBAC}{sinABC.sinACB}=\frac{AE}{AB}:\left(\frac{AD}{AB}.\frac{AE}{AH}\right)=\frac{AE}{AB}.\frac{AB.AH}{AD.AE}=\frac{AH}{AD}\)

Vậy\(AD.cosBAC=AH.sinABC.sinACB\left(đpcm\right)\)