Question

[bullet sivel]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), có các đường cao BN và CM cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
1) Bốn điểm B,M,N,C thuộc cùng một đường tròn .
2)ON là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AH

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

1) Vì $BN,CM$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên:

\(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}(=90^0)\)

Hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác $BMNC$ nội tiếp, hay $B,M,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $BC$

Gọi $T$ là trung điểm của $AH$

Ta thấy $NT$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ của tam giác $ANH$ nên \(NT=\frac{AH}{2}=r\), do đó $N$ cũng thuộc đường tròn đường kính $AH$

\(NT=\frac{AH}{2}=TH\Rightarrow \) tam giác $TNH$ cân tại $T$

\(\Rightarrow \widehat{TNH}=\widehat{THN}=\widehat{BHK}(1)\)

Tương tự, tam giác vuông $BNC$ có đường trung tuyến $NO$ nên \(NO=\frac{BC}{2}=OB\)

\(\Rightarrow \triangle OBN\) cân tại $O$

\(\Rightarrow \widehat{BNO}=\widehat{OBN}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{TNH}+\widehat{BNO}=\widehat{BHK}+\widehat{OBN}\)

\(\Rightarrow \widehat{TNO}=\widehat{BHK}+\widehat{HBK}=90^0\)

\(\Rightarrow NT\perp ON\)

Do đó ON là tiếp tuyến của $(T)$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: