Question

[Tatsuno Nizaburo]

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD=MB. Vẽ CE vuông góc AD tại E. Gọi F là điểm trên cạnh BC sao cho BF=DE. Chứng minh rằng:

a/ Tg ABC= tg CDA

b/ AF vuông góc với BC.

c/ M, E, F thẳng hàng

Giúp mik với! MIK SẼ TICK CHO~!!

Answer 1

[Huỳnh Huệ Anh]

a) Xét tứ giác ABCD, có:

AC và BD là 2 đường chéo cắt nhau tại M

M là trung điểm AC (gt)

M là trung điểm BD (BF= DE - gt)

=> tứ giác ABCD là hình bình hành

Xét tg ABC và tg CDA có:

AB = CD (2 cạnh bên hình bình hành)

góc BAC = góc ACD (so le trong của AB//DC - 2 cạnh hình bình hành)

AC là cạnh chung

=> tg ABC = tg CDA (đpcm)

b) xét tg ABF và tg CDE, có:

AB = DC (2 cạnh bên hình bình hành)

góc ABF = góc ADC (2 góc đối hình bình hành bằng nhau)

BF = DE (gt)

=> tg ABF = tg CDE (c-g-c)

=> góc DEC = góc AFB (2 góc tương ứng)

mà góc DEC = 90 độ (CE vuông góc AD - gt)

=> góc AFB = 90 độ

=> AF vuông góc với BC (gt)

c) ta có: AD // BC (2 cạnh hình bình hành)

=> góc DEC = góc ECB (so le trong)

=> góc DEC = góc ECB = 90 độ

xét tứ giác AECF có:

góc AEC = góc ECF = góc AFC = 90 độ

=> tứ giác AECF là hình chữ nhật

có AC và EF là 2 đường chéo

mà 2 đường chéo hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm AC (gt)

=> M cũng là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật

=> M là trung điểm EF

=> M,E,F thẳng hàng (đpcm)