H
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CC
0
BT
4 tháng 8 2016
đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
\(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
PN
10 tháng 7 2016
Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.
Ta có:
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm
trong đó với , ta có:
Tương tự, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức và , ta được:
Khi đó, ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau: (bất đẳng thức Cauchy cho ba số )
Hay
Mà đã được chứng minh ở câu nên luôn đúng với mọi
Dấu xảy ra
Vậy,
Kẻ đường cao AD, BE và CF.
\(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\cos^2A\)
\(\Delta BFD~\Delta BCA\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{S_{BFD}}{S_{BCA}}=\left(\dfrac{BF}{BC}\right)^2=\cos^2B\)
\(\Delta CDE~\Delta CAB\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{S_{CDE}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{CE}{CB}\right)^2=\cos^2C\)
\(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=3-\left(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\right)\)
\(=3-\left(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{BFD}}{S_{BCA}}+\dfrac{S_{CDE}}{S_{CAB}}\right)>3-\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\left(\text{đ}pcm\right)\)
Ta có:
\(A + B + C = π \Rightarrow C = π - (A + B) \Rightarrow cosC = cos[π - (A + B)] = - cos(A + B) \)
\(P = Sin^2A+Sin^2B+Sin^2C = \dfrac{1 - cos2A}2 + \dfrac{1 - cos2B}2 + 1 - cos^2C\)
\(= 2 - \dfrac{cos2A + cosB}2 - cos^2(A+B)\)
\(= 2 - cos(A+B).cos(A-B) - cos^2(A+B)\)
\(= 2 - cos(A+B)[cos(A-B) + cos(A+B)]\)
\(= 2 - cos(A+B).2cosA.cosB\)
\(= 2 + 2.cosC.cosA.cosB \)
\(A ,B , C\) là các góc nhọn \(\Rightarrow\) \(cosC.cosA.cosB > 0\)
\(\Rightarrow\) \(P = Sin^2A+Sin^2B+Sin^2C > 2\)