Question

[Tùng Sói]

Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH chứng minh:

a) tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA

b) AH.AH=HB.HC

c) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H lên cạnh AB,AC và I là trung điểm của AH. Chứng minh 3 điểm M, N, I thẳng hàng

d) Chứng minh: AM.AB = AN.AC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABC và ΔHBA có

\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔABC∼ΔHBA(g-g)(1)

b) Xét ΔABC và ΔHAC có

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC∼ΔHAC(g-g)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔHBA∼ΔHAC(t/c bắc cầu)

⇒\(\frac{HA}{HC}=\frac{BH}{AH}\)

\(\Rightarrow AH^2=BH\cdot CH\)(đpcm)

c) Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,M\in AB,N\in AC\))

\(\widehat{ANH}=90^0\)(NH⊥AC)

\(\widehat{AMH}=90^0\)(HM⊥AB)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒Hai đường chéo AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(tính chất hình chữ nhật)

mà I là trung điểm của AH(gt)

nên I là trung điểm của MN

hay M,I,N thẳng hàng(đpcm)