Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{ID}\left(\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}\)
\(=IA'^2-\left(\overrightarrow{IC'}+\overrightarrow{C'D}\right)\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{IC'}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{C'D}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-IC'^2-0\) (vì AI vuông góc với C'B')
\(=r^2-r^2=0\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
ĐFCM
De chung minh M la tam duong tron bang tiep goc C cua tam giac ABC
\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MBI}=90^0\) => tu giac MAIN noi tiep
=> \(C'I.C'M=C'B.C'A\left(1\right)\)
Mat khac xet (O) ta cung co \(C'B.C'A=C'N.C'E\left(2\right)\)
Tu (1) va (2) suy ra \(C'I.C'M=C'E.C'N\)
suy ra tu giac MEIN noi tiep (*)
chung minh tuong tu cung co tu giac EINK noi tiep (**)
tu (*) va(**) ta co dpcm
1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A
Ta có P C M ^ = P A C ^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );
Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM tiếp xúc (O)
Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.
Đặt bán kính của (I) và (O) lần lượt là \(r\) và \(R\).Gọi AI cắt (O) tại K khác A, KO cắt PQ, (O) lần lượt tại J,L.
Dễ thấy K là điểm chính giữa cung PQ và BC, suy ra KP = KQ, cũng dễ có KM = KN (1)
Áp dụng ĐL Cosin vào \(\Delta\)AKN ta có:
\(KN^2=AK^2+AN^2-2AK.AN.\cos45^0\Rightarrow KN^2=2R^2+2Rr+r^2\) (2)
Ta thấy OJ có độ dài bằng một nửa đường cao AH của \(\Delta\)ABC. Từ ĐL Ptolemy và Thales ta tính được:
\(AH=r.\frac{AB+AC+2R}{2R}=\frac{2Rr+r^2}{R}\Rightarrow OJ=\frac{2Rr+r^2}{2R}\)
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có:
\(KQ^2=KJ.KL=\left(R+\frac{2Rr+r^2}{2R}\right).2R=2R^2+2Rr+r^2\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra KM = KN = KP = KQ. Điều đó có nghĩa là M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn tâm K (đpcm).
