Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khai bút thoi nào,hy vọng năm mới nhiều may mắn :)
Ký hiệu như hình vẽ nhá :)
Áp dụng định lý đường phân giác ta có:
\(\frac{CE}{CA}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{CA+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)
Áp dụng định lý đường phân giác lần nữa:
\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=a\cdot\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\Rightarrow\frac{BO}{OE+OB}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)
Chứng minh tương tự:\(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)
Mà \(\frac{BO}{BE}\cdot\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\) nên \(\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2a^2+2ab+2ac+2cb=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\)
=> đpcm
đặt AB=c, AC=b, BC=a
ta có:
\(\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AB}\)(vì BE là phân giác goc B của tam giác ABC)
\(\Leftrightarrow\frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{AB}hay\frac{EC}{b-EC}=\frac{a}{c}\Rightarrow EC.c=ab-a.EC\)
\(\Leftrightarrow EC.c+a.EC=ab\Leftrightarrow EC\left(a+c\right)=ab\Rightarrow EC=\frac{ab}{a+c}\)
\(\frac{BF}{ÀF}=\frac{BC}{AC}\) (vì CF là phân giác góc C của tam giác ABC)
\(\Leftrightarrow\frac{BF}{AB-BF}=\frac{BC}{AC}hay\frac{BF}{c-BF}=\frac{a}{b}\Rightarrow b.BF=ac-a.BF\Leftrightarrow b.BF+a.BF=ac\Leftrightarrow BF\left(a+b\right)=ac\Rightarrow BF=\frac{ac}{a+b}\)
lại có:
\(\frac{OB}{OE}=\frac{BC}{EC}\) (vì CO là phân giác góc C của tam giác CEB)
\(\Rightarrow\frac{OB}{OB+OE}=\frac{BC}{BC+EC}hay\frac{OB}{BE}=\frac{a}{a+\frac{ab}{a+c}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+c\right)+ab}{a+c}}=\frac{a\left(a+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}=\frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)
\(\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{BF}\)(BO là phân giác góc B của tam giác BFC)
\(\Rightarrow\frac{OC}{OF+OC}=\frac{BC}{BC+BF}\Leftrightarrow\frac{OC}{CF}=\frac{BC}{BC+CF}hay\frac{OC}{CF}\frac{a}{a+\frac{ac}{a+b}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+b\right)+ac}{a+b}}=\frac{a\left(a+b\right)}{a\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right)\)
nhân (1) và (2) vế theo vế ta được: \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
theo đề bài thì \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{1}{2}\)
nên: \(\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)
=> 2(a+c)(a+b)=(a+b+c)2
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+ac+bc+ab\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2ac+2bc+2ab=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\) hay BC2=AB2+AC2 => tam giác ABC vuông tại A( theo định lí pytago đảo)
A B C P M N D E F
a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 900 + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP
Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)
Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:
\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)
\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)
\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)
\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)
\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)