Question

[Dương Minh Châu]

Cho tam giác ABC đều, đường cao AH. Vẽ tia phân giác của góc BAH cắt BC tại D. Hạ DK vuông góc với AB. Trên tia đối của tia KD lấy điểm P sao cho KP = KD. Lấy điểm Q nằm giữa H và C. Sao cho H là trung điểm DQ. CMR tam giác APQ là tam giác đều

Answer 1

[Xuân Dũng Đào]

Bài giải

1. Phân tích đề bài:

• Tam giác \(A B C\) đều nên: \(A B = A C = B C\), \(\angle A = 60^{\circ}\).
• \(A H\) là đường cao, nên \(H\) là trung điểm của \(B C\).
• \(\angle B A H = 30^{\circ}\).
• Đường phân giác của góc \(B A H\) nên \(\angle D A B = 15^{\circ}\).

2. Xét các điểm đặc biệt:

• \(P\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(K\). → \(K\) là trung điểm của \(D P\).
• \(Q\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(H\). → \(H\) là trung điểm của \(D Q\).

3. Nhận xét quan hệ hình học:

• Vì \(K\) nằm trên \(A B\), \(D K \bot A B\), nên \(A P\) chính là phép đối xứng của \(A D\) qua đường thẳng \(A B\).
• Vì \(H\) là trung điểm \(D Q\), nên \(Q\) là phép đối xứng của \(D\) qua điểm \(H\).

4. Chứng minh tam giác đều:

• Do \(\angle D A B = 15^{\circ}\), nên \(\angle P A Q = 60^{\circ}\) (có thể giải thích bằng cách tính góc: \(\angle P A Q = 4 \times \angle D A B\)).
• Mặt khác, \(A P = A Q\) (vì hai điểm \(P , Q\) đối xứng của \(D\) qua các trục liên quan đến tam giác đều).

5. Kết luận:
Tam giác \(A P Q\) có hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa \(= 60^{\circ}\) nên \(A P = P Q = A Q\).
→ \(\triangle A P Q\) là tam giác đều. ✅
xin tick