Question

[dưccs]

Cho tam giác ABC đều, cạnh $2\sqrt{3}$23, trọng tâm G. Độ dài vectơ \(\overline{AB} \) - \(\overline{GC} \) là

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Kẻ \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GC}\)

ΔABC đều có G là trọng tâm

nên G là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>AG,CG,BG lần lượt là phân giác của góc \(\widehat{BAC};\widehat{ACB};\widehat{ABC}\)

ΔABC đều

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=60^0\)

AG là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot60^0=30^0\)

CG là phân giác của góc ACB

=>\(\widehat{ACG}=\widehat{BCG}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ACB}=30^0\)

Xét ΔGAC có \(\widehat{AGC}+\widehat{GAC}+\widehat{GCA}=180^0\)

=>\(\widehat{AGC}+30^0+30^0=180^0\)

=>\(\widehat{AGC}=120^0\)

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GC}\)

=>AH//GC và AH=GC

Xét tứ giác AHCG có

AH//CG

AH=CG

Do đó: AHCG là hình bình hành

=>\(\widehat{GAH}+\widehat{AGC}=180^0\)

=>\(\widehat{GAH}=180^0-120^0=60^0\)

ΔABC đều có G là trọng tâm

nên \(AG=CG=BG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=2\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{HB}\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{BAG}+\widehat{GAH}=30^0+60^0=90^0\)

=>ΔABH vuông tại A

AH=CG

mà 2

nên AH=2

ΔABH vuông tại A

=>\(BH^2=AB^2+AH^2\)

=>\(BH^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2+2^2=16\)

=>BH=4

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{HB}\right|=HB=4\)