Question

[Lê Ngọc Minh Châu]

Cho tam giác ABC có góc CAB=90 độ và có đường phân giác CE.Kẻ EH vuông với BC.

1)Tính góc ABC +góc BCA

2)Chứng minh góc ACE=góc BCE và AC=HC

3)Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AH và CE.Chứng minh IA=IH

4)Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh BC=2AM

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

    

a) ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ ∠ABC + ∠BCA = 90⁰ (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

b) Do CE là đường phân giác của ∆ABC (gt)

⇒ CE là tia phân giác của ∠ACB

⇒ ∠ACE = ∠BCE

⇒ ∠ACE = ∠HCE

Xét hai tam giác vuông: ∆ACE và ∆HCE có:

CE là cạnh chung

∠ACE = ∠HCE (cmt)

⇒ ∆ACE = ∆HCE (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AC = HC (hai cạnh tương ứng)

c) Do ∆ACE = ∆HCE (cmt)

⇒ AE = HE (hai cạnh tương ứng)

⇒ E nằm trên đường trung trực của AH (1)

Do AC = HC (cmt)

⇒ C nằm trên đường trung trực của AH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CE là đường trung trực của AH

Mà I là giao điểm của AH và CE (gt)

⇒ I là trung điểm của AH

⇒ IA = IH

d) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = DM

⇒ M là trung điểm của AD

Do M là trung điểm của BC (gt)

⇒ BM = CM

Xét ∆ABM và ∆DCM có:

AM = DM

∠AMB = ∠DMC (đối đỉnh)

BM = CM (cmt)

⇒ ∆ABM = ∆DCM (c-g-c)

⇒ ∠BAM = ∠CDM (hai góc tương ứng)

Mà ∠BAM và ∠CDM là hai góc so le trong

⇒ AB // CD

Mà AB ⊥ AC (∆ABC vuông tại A)

⇒ CD ⊥ AC

Do ∆ABM = ∆DCM (cmt)

⇒ AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆ABD và ∆CDB có:

AB = CD (cmt)

DB là cạnh chung

⇒ ∆ABD = ∆CDB (hai cạnh góc vuông)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Mà M là trung điểm của AD (cmt)

⇒ AD = 2AM

⇒ BC = 2AM