Question

[Nguyễn Hữu Hoàng Hải Anh]

cho tam giác ABC có góc A nhọn. phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BAD vuông cân tại A , tanm giác CAE vuông cân tại A. cmr:

a) dc=be., dc vuông gocd be

b) đường thẳng qua A vuông góc với de cắt bc tại K. cm K là trung điểm bc

Answer 1

[Trà My]

A B C D E K G H

a)

+) Ta có: \(\widehat{DAB}=\widehat{EAC}=90^o\)=> \(\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\widehat{EAC}+\widehat{BAC}\Leftrightarrow\widehat{DAC}=\widehat{EAB}\)

Xét tam giác DAC và tam giác BAE có:

AD = AB ( vì tam giác BAD vuông cân tại A )

\(\widehat{DAC}=\widehat{EAB}\) (chứng minh trên)

AE = AC ( vì tam giác CAE vuông cân tại A )

=> \(\Delta DAC=\Delta BAE\left(c.g.c\right)\)=> DC = BE (2 cạnh tương ứng)

+) Đặt H là giao điểm của DC và BE, G là giao điểm của AC và BE

Góc AGE và góc HGC đối đỉnh nên \(\widehat{AGE}=\widehat{HGC}\) (1)

\(\Delta DAC=\Delta BAE\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{ACD}\) ( 2 góc tương ứng ) (2)

Tam giác AEG có: \(\widehat{AEG}+\widehat{EGA}+\widehat{GAE}=180^o\) (tổng 3 góc trong tam giác)

Tam giác HGC có: \(\widehat{GHC}+\widehat{GCH}+\widehat{HGC}=180^o\) (tổng 3 góc trong tam giác)

=>\(\widehat{AEG}+\widehat{GAE}+\widehat{GAE}=\)\(\widehat{GHC}+\widehat{GCH}+\widehat{HGC}\)

Kết hợp với (1) và (2) => \(\widehat{GAE}=\widehat{GHC}=90^o\Leftrightarrow DC⊥BE\)