Question

[Nguyễn Nhật Anh]

Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, góc B = 30 độ. Lấy điểm D trên cạnh AC, E trên cạnh AB sao cho góc ABD = \(\frac{1}{3}\)góc ABC, góc ACE = \(\frac{1}{3}\)góc ACB, BD cắt CE tại M. Tính số đo các góc của tam giác MDE ( gọi ý: Dựng N là giao điểm hai phân giác các góc MBC và MCB. Chứng minh: ME = MN = MD)

Answer 1

[Lê Quang Trường]

tao deo hieu

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C D E M N 1 2 3 1 2 3 1 2

Vẽ 2 tia phân giác của ^MCB và ^MBC, ta được: ^B₁=^B₂=^B₃=1/3^ABC và ^C₁=^C₂=^C₃=1/3^ACB.

Ta có: ^C₁=1/3^ACB => ^C₂+^C₃=1-1/3^ACB=2/3^ACB =>  ^MCB=2/3^ACB (1)

Xét tam giác ABC: ^BAC=90⁰ => ^ABC+^ACB=90⁰ => ^ACB=90⁰-^ABC=90⁰-30⁰=60⁰=> ^ACB=60⁰.

Thay ^ACB=60⁰ vào (1), ta có: ^MCB=2/3.60⁰=40⁰.

Tương tự: ^B₁=1/3^ABC => ^B₂+^B₃=2/3^ABC => ^MBC=2/3^ABC (2)

Thay ^ABC=30⁰ vào (2), ta có: ^MBC=2/3.30⁰=20⁰.

Xét tam giác CMB: ^CMB=180⁰-(^MCB+^MBC)=180⁰-(40⁰+20⁰)=180⁰-60⁰=120⁰ => ^CMB=120⁰.

Mà ^CMB=^DME (Đối đỉnh) => ^DME=120⁰.

N là giao của 2 đường phân giác của ^MBC và ^MCB trong tam giác CMB => MN là phân giác ^CMB.

=> ^M₁=^M₂=^CMB/2=120⁰/2=60⁰ (3)

Lại có: ^CDM là góc ngoài của tam giác ADB => ^CDM=^DAB+^ABD=90⁰+1/3ABC.

^ABC=30⁰=>1/3^ABC=10⁰. Thay cào biểu thức trên: ^CDM=90⁰+10⁰=100⁰.

^C₁=1/3^ACB => ^C₁=1/3.60⁰=20⁰. Xét tam giác DCM: ^DMC=180⁰-(^CDM+^C₁)=180⁰-(100⁰+20⁰)=60⁰ => ^DMC=60⁰ (4)

Từ (3) và (4) => ^M₁=^M₂=^DMC=60⁰, mà ^EMB=^DMC => ^M₂=^EMB=60⁰.

Xét tam giác CDM và tam giác CNM có: 

^C₁=^C₂=1/3^ACB

Cạnh CM chung      => Tam giác CDM = Tam giác CNM (g.c.g)

^DMC=^M₁=60⁰

=> DM=NM (2 cạnh tương ứng) (5)

Xét tam giác BEM và tam giác BNM có:

^B₁=^B₂=1/3^ABC

Cạnh BM chung       => Tam giác BEM = Tam giác BNM (g.c.g) 

^EMB=^M₂=60⁰

=> EM=NM (2 cạnh tương ứng) (6)

Từ (5) và (6) => DM=EM=NM => Tam giác MDE cân tại M => ^MDE=^MED=(180⁰-^DME)/2

Thay ^DME=120⁰ vào biểu thức trên, ta có: ^MDE=^MED=(180⁰-120⁰)/2=60⁰/2=30⁰.

Vậy các góc của tam giác MDE là: ^DME=120⁰, ^MDE=^MED=30⁰.

Ai hiểu rồi thì k nha.