Question

[TRẦN PHAN ĐỨC MINH]

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD . Vẽ đường tròn (O) đi qua hai điểm A,D và tiếp xúc BC tại D.Đường tròn này cắt BC tại D.Đường tròn này cắt AB,AC tại E,F.Chứng Minh:

a) EF//BC

b) AD\(^2\) =AE.AC

c) AE.AC = AB.AF

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

a)

+) Tứ giác AEDF nội tiếp 

=> ^AED = ^DFC (1)

và ^AFD = ^BED ( 2)

+) Ta có: ^EAD = ^FAD ( AD là phân giác ^BAC ) 

^FDC = ^FAD ( cùng chắn cung DF )

^BDE = ^EAD ( cùng chắn cung DE )

=> ^FDC = ^FAD = ^EAD = ^BDE ( 3)

+) Xét \(\Delta\)AED và  \(\Delta\)DFC  có: 

^EAD = ^FDC ( theo (3))

^AED = ^DFC ( theo (1)

=> \(\Delta\)AED ~ \(\Delta\)DFC 

=> \(\frac{AE}{DF}=\frac{ED}{FC}\)=> AE . FC = DF . ED ( 4)

+) Xét \(\Delta\)AFD và \(\Delta\)DEB có:

^DAF = ^BDE ( theo (3))

^AFD = ^DEB ( theo ( 2)

=> \(\Delta\)AFD ~ \(\Delta\)DEB 

=> \(\frac{AF}{ED}=\frac{DF}{BE}\Rightarrow AF.BE=DF.ED\)(5)

Từ (4) ; (5) => AF.BE = AE.FC

=> \(\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BE}\)

=> EF//BC

b) Xét \(\Delta\)AED và \(\Delta\)ADC có:

^EAD = ^DAC 

^ADE = ^ACD ( vì ^ADE = ^AFE ( chắn cung AE ) và ^AFE = ^ACD  (đồng vị ))

=> \(\Delta\)AED ~ \(\Delta\)ADC

=> \(\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}\)

=> AD^2 = AE.AC

c) Tương tự cm \(\Delta\)AFD ~ \(\Delta\)ADB 

=> \(\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}\)

=> AD^2=AF.AB

kết hợp vs câu b => AB.AF = AE.AC