Question

[Lưu Phương Thảo]

cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh a,b,c thỏa mãn

\(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}=\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\)

cm: tam giác ABC cân

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có : \(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}=\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow ab\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)+bc\left(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b}\right)+ca\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)}{(b+c)(c+a)}+\frac{bc(b-c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca(c-a)}{(b+a)(b+c)}=0\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2-b^2)-bc[(a^2-b^2)+(c^2-a^2)]+ca(c^2-a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2-b^2)(ab-bc)+(ca-bc)(c^2-a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (ba+b^2)(a-b)(a-c)-(a-b)(a-c)(c^2+ca)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)=0\)

Vì $a,b,c$ là ba cạnh tam giác nên \(a+b+c\neq 0\Rightarrow (a-b)(a-c)(b-c)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\). Do đó tam giác $ABC$ là tam giác cân.