Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M
Xét \(\Delta MBC\)ta có:
MB+MC>BC (theo bất đẳng thức tam giác)
Mà tam giác ABC đều nên AB=BC
suy ra MB+MC>AB
Ta lại có AB>MA nên MB+MC>MA
M D F E A B C
Kẻ MD // BC, MF // AC, ME // AB \(\left(D\in AB,F\in BC,E\in AC\right)\)
Ta có:
\(\widehat{DBF}=\widehat{ACB}\) ( \(\Delta ABC\) đều)
\(\widehat{MFB}=\widehat{ACB}\) ( 2 góc đồng vị và MF // AC)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{DBF}=\widehat{MFB}\)
Mà MD // BF
Nên tứ giác DMFB là hình thang cân
\(\Rightarrow\)\(DF=MB\) \(\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(EF=MC\) \(\left(2\right)\)
\(DE=MA\) \(\left(3\right)\)
Xét \(\Delta DEF\) theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
\(DF+EF>DE\) \(\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
\(MB+MC>MA\left(đpcm\right)\)
Có MA+MB > AB
MB+MC > BC Bất đẳng thức trong tam giác
MA + MC > AC
Cộng vế với vết của 3 bất đẳng thức trên ta có2MA + 2MB + 2MC > AB + BC + AC = 3aMA + MB + MC > 3a/2 > a√3/2 (đfcm)
A B C A' B' C' M
Ta có ; \(\frac{MA'}{AA'}=\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{MB'}{BB'}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{MC'}{CC'}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=\frac{S_{BMC}+S_{AMC}+S_{AMB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Áp dụng bất đằng thức Cauchy : \(\frac{MA'}{AA'}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{MC'}{CC'}\le\left(\frac{MA'+MB'+MC'}{3}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{MC'}{CC'}\le\frac{1}{27}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{MA'}{AA'}=\frac{MB'}{BB'}=\frac{MC'}{CC'}\\\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}=\frac{MB'}{BB'}=\frac{MC'}{CC'}=\frac{1}{3}\)
Vậy dấu "=" xảy ra khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài giải
Ta dựng các tam giác đều AMP , AMN , ACE , ABD , suy ra N,P,E,D cố định.
Dễ dàng chứng minh được ΔAPE=ΔAMC(c.g.c)
⇒ MC = PE, AM = MP
Suy ra : AM + MC + BM = BM + MP + PE ≥ BE ( hằng số )
Tương tự , ta cũng chứng minh được AM = MN, BM = DN
⇒ AM + MC + MB = CM + MN + DN ≥ CD ( hằng số )
Suy ra MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BE và CD.
Cần chú ý : Vì điều kiện các góc của tam giác nhỏ hơn 180 độ :
\(\widehat{BAC}+\widehat{CAE}\) < 120o + 60o = 180o
\(\widehat{BAC}+\widehat{BAD}\) < 120o + 60o = 180o
nên BE cắt AC tại một điểm nằm giữa A và C , CD cắt AB tại một điểm nằm giữa A và B. Do đó tồn tại giao điểm M của CD và BE.