Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta thấy ngay \(\Delta AEB\sim\Delta AFC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
Vậy thì \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}\)
Xét tam giác vuông ABE có \(cos\widehat{BAE}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=cos60^o=\frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow EF=\frac{a}{2}\)
b) Ta thấy ngay tứ giác BKHM nội tiếp nên \(\widehat{KHB}=\widehat{KMB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK)
Ta cũng có tứ giác CIHM nội tiếp nên \(\widehat{CMI}=\widehat{CHI}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI)
Ta thấy ngay E thuộc đường tròn đường kính BC nên \(\widehat{EBM}=\widehat{ICM}\)
(Góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Suy ra \(\widehat{BMK}=\widehat{CMI}\) nên \(\widehat{KHB}=\widehat{CHI}\)
Vậy I, H, K thẳng hàng.
Ta thấy ngay \(\Delta EIK\sim\Delta HMC\sim\Delta HBM\Rightarrow\frac{EI}{MI}=\frac{EI}{EK}=\frac{MH}{CH}\)
và \(\frac{MH}{BH}=\frac{EK}{EI}=\frac{EK}{MK}\)
Mà \(\Delta CMI\sim\Delta BMK\Rightarrow\frac{CI}{MI}=\frac{BK}{MK}\)
Vậy thì \(S=\frac{BC}{MH}+\frac{CE}{MI}+\frac{BE}{MK}=\frac{BH+HC}{MH}+\frac{EI-CI}{MI}+\frac{BK+KE}{MK}\)
\(=\frac{BH}{MH}+\frac{CH}{MH}+\frac{EI}{MI}-\frac{CI}{MI}+\frac{BK}{MK}+\frac{EK}{MK}\)
\(=\left(\frac{BH}{MH}+\frac{CH}{MH}\right)+\left(\frac{MH}{CH}-\frac{BK}{MK}\right)+\left(\frac{BK}{MK}+\frac{MH}{BH}\right)\)
\(=\left(\frac{BH}{MH}+\frac{MH}{BH}\right)+\left(\frac{CH}{MH}+\frac{MH}{CH}\right)\ge2+2=4\)
\(\Rightarrow minS=4\Leftrightarrow MH=BH=CH\)
hay M ở chính giữa cung BC.
a, Ta đã chứng minh được: AE = b + c - a 2
=> AE = a + b + c - 2 a 2 = p – a
∆AIE có IE = EA.tan B A C ^ 2
= (p – a).tan B A C ^ 2
b, Chú ý: BI ⊥ FD và CI ⊥ E. Ta có:
B I C ^ = 180 0 - I B C ^ + I C D ^ = 180 0 - 1 2 A B C ^ + A C B ^
= 180 0 - 1 2 180 0 - B A C ^ = 90 0 + B A C ^ 2
Mà: E D F ^ = 180 0 - B I C ^ = 90 0 - α 2
c, BH,AI,CK cùng vuông góc với EF nên chúng song song => H B A ^ = I A B ^ (2 góc so le trong)
và K C A ^ = I A C ^ mà I A B ^ = I A C ^ nên H B A ^ = K C A ^
Vậy: ∆BHF:∆CKE
d, Do BH//DP//CK nên B D D C = H P P K mà DB = DF và CD = CE
=> H P P K = B F C E = B H C K => ∆BPH:∆CPK => B P H ^ = C P E ^
Lại có: B F P ^ = C E F ^ => ∆BPF:∆CEP (g.g)
mà B P D ^ = C P D ^ => PD là phân giác của B P C ^
góc MKC=góc MIC=90 độ
=>MCKI nội tiếp
=>góc MIK+góc MCK=180 độ
góc MIB+góc MHB=180 độ
=>MIBH nội tiếp
=>góc MIH=góc MBH
góc MIH+góc MIK
=180 độ-góc MCK+góc MBH
=180 độ
=>H,I,K thẳng hàng
https://olm.vn/hoi-dap/question/1088709.html
Em có thể xem tại đây.