Question

[nhi khuat]

cho tam giác ABC có 3 đường cao AD , BÉ , CF cắt nhau tại H . CMR

a) AE.AC=À.AB=AH.AD

b)HA.HD=HB.HE=HC.HF

c)AH.AD+BH.BE+CH.CF=\(\dfrac{1}{2}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

Do đo: ΔABE\(\sim\)ΔACF

Suy ra: AB/AC=AE/AF

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\left(1\right)\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đo: ΔAFH\(\sim\)ΔADB

Suy ra: AF/AD=AH/AB

hay \(AF\cdot AB=AH\cdot AD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AD=AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔHFB\(\sim\)ΔHEC
SUy ra: HF/HE=HB/HC

hay \(HF\cdot HC=HB\cdot HE\left(3\right)\)

Xét ΔHFA vuông tại F và ΔHDC vuông tại D có

\(\widehat{FHA}=\widehat{DHC}\)

Do đó: ΔHFA\(\sim\)ΔHDC

Suy ra: HF/HD=HA/HC

hay \(HF\cdot HC=HA\cdot HD\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(HA\cdot HD=HB\cdot HE=HF\cdot HC\)