Question

[phan tuấn anh]

cho tam giác ABC .cmr 

a) \(cosA+cosB+cosC\le\frac{3}{2}\)

b) \(cos2A+cos2B+cos2C\ge-\frac{3}{2}\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

a)

\(cosA=\sqrt{cosA^2}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}}\le\frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}\)(BDT AM-GM)

Tương tự ta có: 

\(cosB\le\frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2};cosC\le\frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)

Answer 2

[Thắng Nguyễn]

Cách khác

CHo Tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác

Đặt x₁=MA;x₂=MB;x₃=MC và p₁;p₂;p₃ lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có BĐT \(x_1+x_2+x_3\ge2\left(p_1+p_2+p_3\right)\)

Vận dụng giải bài trên:

Gọi O,R là tâm và bán kính đg tròng ngoại tiếp Tam giá ABC

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BC,CA

Dễ thấy \(^{\widehat{A}=\widehat{MOB}}\).Do đó:

\(cosA=cos\left(\widehat{MOB}\right)=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R}\)

tương tự \(cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}\)

Do đó \(cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{T}\le\frac{1}{2}\left(\frac{OA+OB+OC}{R}\right)=\frac{3}{2}\) (BĐT erdos-mordell )

Dấu "=" khi tam giác ABC đều