Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ta có:
b) Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:
A + B + C = 180º
⇒ sin A = sin [180º – (B – C)]= sin (B + C) = sinB.cos C + cosB. sinC (đpcm)
c) Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
A B C B' C' I O I K L J T a
Gọi K và L lần lượt là tâm bàng tiếp góc C và góc B của \(\Delta\)ABC. Khi đó dễ thấy:
Tâm nội tiếp I của \(\Delta\)ABC chính là trực tâm của \(\Delta\)KIaL ; O là tâm đường tròn Euler của \(\Delta\)KIaL
Từ đó nếu ta gọi J và T thứ tự là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)KIaL và KIL thì I và J đối xứng nhau qua O
Đồng thời T và J đối xứng nhau qua KL; TJ = IIa; TJ // IIa . Suy ra T và Ia đối xứng nhau qua O (1)
Ta thấy tứ giác AICL nội tiếp nên PB'/(T) = B'I.B'L = B'A.B'C = PB'/(O)
Suy ra B' nằm trên trục đẳng phương của (O) và (T). Tương tự với điểm C'.
Do đó B'C' là trục đẳng phương của (O) và (T) hay B'C' vuông góc với OT (2)
Từ (1) và (2) suy ra OIa vuông góc với B'C' (đpcm).
Gọi H1, H2, H3 lần lượt là trực tâm ΔABC1, ΔBCA1, ΔCAB1
Ta có : \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OH}_1\left(1\right)\)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}_1=\overrightarrow{OH}_2\left(2\right)\)
\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}_1=\overrightarrow{OH}_3\left(3\right)\)
Trừ theo vế (1) , (2) ta có :
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OH_1}+\overrightarrow{H_2O}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{H_2H_1}\)
TƯƠNG TỰ TRỪ THEO VẾ (2) , (3) ta được :
\(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{H_3H_2}\)
Lại có: AA1//BB1//CC1 (gt)
\(\Rightarrow\)vt AA1, vtA1A, vt B1B, CC1 cùng phương
\(\RightarrowĐPCM\)
Gọi H1, H2, H3 lần lượt là trực tâm ΔABC1, ΔBCA1, ΔCAB1
Ta có: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}_1=\overrightarrow{OH_1}\)(1)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OH_2}\)(2)
\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OH_3}\) (3)
Trừ theo vế (1), (2) ta có:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OH_1}+\overrightarrow{H_2O}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{H_2H_1}\)
trương tự trừ theo vế (2), (3) ta được:
\(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{H_3H_2}\)
Lại có: AA1//BB1//CC1 (gt)
=> vt AA1, vtA1A, vt B1B, CC1 cùng phương
=> đpcm