Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lấy E sao cho A là trung điểm của CE
Xét ΔEBC có
BA là đường trung tuyến
BA=CE/2
Do đó: ΔEBC vuông tại E
Xét ΔCBE có AH//BE
nên AH/BE=CH/CB=1/2
=>AH=1/2BE
Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao
nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)
=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)
Do tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là trung tuyến
Hay H là trung điểm BC \(\Rightarrow CH=\dfrac{BC}{2}\)
Từ H hạ HD vuông góc AC
\(\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)
\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác ACH
\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH:
\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\Rightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{4AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)
Xét \(\Delta ACH;\Delta BCK\) có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}\left(chung\right)\\\widehat{AHC}=\widehat{BKC}=90^o\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ACH\sim\Delta BCK\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{CH}{CK}\)
\(\Rightarrow AH.CK=BK.CH\)
\(\Rightarrow AH^2.CK^2=BK^2.CH^2\)
\(\Rightarrow AH^2.CK^2=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)
\(\Rightarrow AH^2.\left(BC^2-BK^2\right)=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)
Chia cả 2 vế cho: \(AH^2.BC^2.BK^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}-\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4AH^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)
Bạn tự vẽ hình
Qua B kẻ đường thẳng song song AH cắt AC kéo dài tại D \(\Rightarrow DB\perp BC\)
\(\Rightarrow\Delta DBC\) vuông tại B
Lại có \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow H\) là trung điểm BC \(\Rightarrow AH\) là đường trung bình của \(\Delta DBC\Rightarrow BD=2AH\Rightarrow BD^2=4AH^2\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DBC\) với đường cao BK:
\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BD^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\) (đpcm)
Tam giác ABC cân ở A có đường cao AH=>BC=2CH
Ta có:\(\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}=\dfrac{4AH^2+BC^2}{4BC^2AH^2}=\dfrac{4AH^2+\left(2CH\right)^2}{16S_{ABC}^2}=\dfrac{4\left(AH^2+CH^2\right)}{16S^2_{ABC}}\)
Do AH vuông góc với BC nên theo pytago AH2+CH2=AC2
=>\(\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}=\dfrac{4AC^2}{16S^2_{ABC}}=\dfrac{AC^2}{4\cdot\left(\dfrac{1}{2}AC\cdot BK\right)^2}=\dfrac{1}{BK^2}\left(ĐPCM\right)\)
Bài 3:
Xét tứ giác BEDC có góc BEC=góc BDC=90 độ
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
=>góc AED=góc ACB
=>ΔAED đồng dạng với ΔACB
=>ED/CB=AE/AC=(cos60)=1/2
=>ED=1/2CB=EM=DM
=>ΔMDE đều
XétΔACH vuông tại H và ΔBCK vuông tại K có
góc C chung
Do đo: ΔACH đồng dạng với ΔBCK
Suy ra: AH/BK=AC/BC=CH/CK
hay \(AH\cdot CK=BK\cdot CH\)
=>\(AH^2\cdot CK^2=BK^2\cdot CH^2\)
\(\Leftrightarrow AH^2\cdot CK^2=\dfrac{BK^2}{4}\cdot BC^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BK^2}-\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4AH^2}\)
hay \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{4AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)
Câu 2:
Từ B, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M.
Từ giả thiết, ta có:
\(\cdot\) AH // BM (do cùng _I_ BC)
\(\cdot\) H là trung điểm của BC (\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao)
Suy ra AH là đường trung bình của \(\Delta BMC\)
\(\Rightarrow BM=2AH\)
Xét \(\Delta BMC\) vuông tại B có BK là đường cao
\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BM^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\) (đpcm)
Câu 1:
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao
\(\Rightarrow AB^2=BH\times BC\)
Xét \(\Delta HBA\) vuông tại H có HE là đường cao
\(\Rightarrow BH^2=BE\times AB\)
\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}=\dfrac{BH^4}{BH\times BC}=\dfrac{BH^3}{BC}\)
Chứng minh tương tự, ta có: \(CF^2=\dfrac{CH^3}{BC}\)
Suy ra \(\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\dfrac{BH}{\sqrt[3]{BC}}+\dfrac{CH}{\sqrt[3]{BC}}=\dfrac{BH+CH}{\sqrt[3]{a}}=\dfrac{a}{\sqrt[3]{a}}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^2\)
Ok!
Ta có: \(\dfrac{AK}{KC}=2.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AK}{KC}+1=2.\dfrac{AB^2}{BC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AK+KC}{KC}=2.\dfrac{AB.AC}{BC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{KC}=\dfrac{2AB.AC}{BC^2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{KC}=\dfrac{2AB}{BC^2}\)
\(\Leftrightarrow BC^2=KC.2AB\)
\(\Leftrightarrow BK^2+KC^2=2AB.KC\)
\(\Leftrightarrow AB^2-AK^2+KC^2=2AB.KC\)
\(\Leftrightarrow\left(AB-KC\right)^2=AK^2\)
\(\Leftrightarrow AB-KC=AK\)
\(\Leftrightarrow AB=AK+KC=AC\) ( Luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
P/s: Gợi ý câu a:Từ H kẻ đt // AH cắt BC tại I Áp dụng hệ thức 4
@Toshiro Kiyoshi