Question

[Nguyễn Châu Anh]

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AD. Trên AD lấy  E là TĐ của AD. Kẻ DM vuông góc với BE ( M thuộc BE ).

CM: AM vuông góc với CM.

Answer 1

[Lưu Đức Mạnh]

Gọi N, H lần lượt là trung điểm của BM và DM.

Xét tam giác ABC cân tại A ta có:

AD là đường cao (gt)

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> D trung điểm BC

Xét tam giác BMC ta có:

N trung điểm BM (cách vẽ)

D trung điểm BC (cmt)

=> ND là đường trung bình của tam giác BMC

=> ND // MC

Xét tam giác AMD ta có:

H trung điểm MD (cách vẽ)

E trung điểm AD (gt)

=> HE là đường trung bình của tam giác AMD

=> HE // AM

Xét tam giác BMD ta có:

N trung điểm MB (cách vẽ)

H trung điểm MD (cách vẽ)

=> NH là đường trung bình của tam giác BMD

=> NH // BD

Mà BD _|_ AD tại D (AD là đường cao của tam giác ABC)

Nên NH _|_ ED (E thuộc AD)

Xét tam giác BDE ta có:

DM là đường cao (DM _|_ BE tại M)

NH là đường cao (NH _|_ ED)

DM cắt NH tại H (gt)

=> H là trực tâm của tam giác BED

=> EH là đường cao thứ 3 của tam giác BED

=> EH _|_ ND

Mà ND // MC (cmt)

Nên EH _|_ MC

Mặt khác EH // AM (cmt)

=> AM _|_ MC tại M (đpcm)