Question

[Nguyễn Hải Lâm]

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BE vuông AC tại E,CF vuông AB tại F. Gọi O là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng:

a) Góc ABE = Góc ACF

b) OA là đường trung trực của đoạn thẳng EF

c) Tam giác ABO = Tam giác ACO

d) Tam giác OBC là tam giác gì

e) EF song song BC ( 2 cách )

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAEB vuông tại E)

\(\widehat{ACF}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAFC vuông tại F)

Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>AE=AF

=>A nằm trên đường trung trực của EF(2)

Xét ΔAFO vuông tại F và ΔAEO vuông tại E có

AF=AE

AO chung

Do đó: ΔAFO=ΔAEO

=>OE=OF
=>O nằm trên đường trung trực của EF(1)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của EF

c: Ta có: OE+OB=EB

OF+OC=FC

mà EB=FC và OE=OF

nên OB=OC

Xét ΔABO và ΔACO có

AB=AC

BO=CO

AO chung

Do đó: ΔABO=ΔACO

d: Xét ΔOBC có OB=OC

nên ΔOBC cân tại O

e:

Cách 1: Xét ΔAEF có AE=AF

nên ΔAEF cân tại A

=>\(\widehat{AEF}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(3\right)\)

TA có: ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên EF//BC

Cách 2: Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

nên EF//BC

Answer 2

[Trần Thị Ngọc Hà]

Giải bài toán hình học

a) Chứng minh \(\angle A B E = \angle A C F\)

• Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C\).
• \(B E \bot A C\), \(C F \bot A B\) → \(\angle A B E = \angle A C F\) (góc cùng phụ với \(\angle E B A\) và \(\angle F C A\)).

b) Chứng minh \(O A\) là đường trung trực của \(E F\)

• \(O\) là giao điểm hai đường cao \(B E\) và \(C F\), nên \(O\) là trung điểm của \(E F\).
• \(O A \bot E F\) (do \(B E \bot A C\) và \(C F \bot A B\)).
• \(\Rightarrow O A\) là đường trung trực của \(E F\).

c) Chứng minh \(\triangle A B O = \triangle A C O\)

• \(A B = A C\) (tam giác cân).
• \(B O = C O\) (do \(O\) nằm trên hai đường cao).
• \(A O\) chung.
• \(\Rightarrow \triangle A B O = \triangle A C O\) (c-g-c).

d) Tam giác \(O B C\) là tam giác gì?

• Từ \(\triangle A B O = \triangle A C O\), suy ra \(\angle O B C = \angle O C B\).
• \(\Rightarrow \triangle O B C\) cân tại \(O\).

e) Chứng minh \(E F \parallel B C\)

Cách 1 (Góc đồng vị):

• \(\angle A B E = \angle A C F\) (câu a).
• Hai góc này là đồng vị → \(E F \parallel B C\).

Cách 2 (Tứ giác nội tiếp):

• \(B E C F\) nội tiếp → \(\angle B E F = \angle B C F\), \(\angle C F E = \angle C B E\).
• Hai góc so le trong → \(E F \parallel B C\).