Question

[Kim Loan]

cho tam giác ABC cân tại A. đường cao AH(H thuộc BC)

a) chứng minh tam giác AHB= tam giác AHC

b) từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. chứng minh tam giác ADH cân, từ đó suy ra AD=DH

c) gọi E là trung điểm AC, CD cắt AH tại G. chứng minh B, G, E thẳng hàng

d) chứng minh chu vi tam giác ABC> AH+3BG

Answer 1

[Trúc Giang]

a) Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC có:

AH chung

AB = AC (GT)

⇒ Δ AHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Ta có : Δ AHB = Δ AHC (câu a)

⇒ \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) ( 2 góc tương ứng) (1)

Ta lại có: HD // AC ( GT )

⇒ \(\widehat{DHA}=\widehat{CAH}\) (2 góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{DHA}=\widehat{BAH}\)

Hay: \(\widehat{DHA}=\widehat{DAH}\)

=> ΔADH cân tại D

=> AD = DH

c) Ta có: ΔABH = ΔACH (câu a)

⇔ BH =HC (hai cạnh tương ứng)

⇒ AH là trung tuyến ΔABC tại A ( 3)

Ta có : DH //AC ⇒ ∠DHB = ∠ACB ( 2 góc đồng vị )

Mà ΔABC cân tại A (GT)

⇒ ∠ABC= ∠ACB

⇒ ∠DHB = ∠DBH

=> ΔDHB cân tại D

⇒ DB =DH

Lại có AD = DH (câu b) ⇒ DA=DB

⇒ CD là trung tuyến ΔABC (4)

Từ (3), (4) ta có: AC cắt CD tại G ⇒ G là trọng tâm Δ ABC

Mà CE =EA ⇒ BE là trung tuyến Δ ABC tại B

⇒ BE qua G ⇒ B,G,E thẳng hàng