Question

[Vân Vũ Hồng]

Cho tam giác ABC cân tại a có đường cao AH(H €BC).Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB.Gọi K là điểm đối xứng với điểm H qua D a, Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật b,Cho AH=9cm,BC=16cm.Tính diện tích tam giác ADH c,Trên tia đối của tia HA lấy điểm E.Kẻ HF vuông góc với EC(F € EC). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của HF, FC.Chứng minh rằng :BF vuông góc với EM

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét tứ giác AHBK có 

D là trung điểm của đường chéo AB(gt)

D là trung điểm của đường chéo KH(K đối xứng với H qua D)

Do đó: AHBK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AHBK có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)

nên AHBK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(AH⊥BC)

nên H là trung điểm của BC(Định lí tam giác cân)

⇒\(BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{16}{2}=8cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được: 

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=8^2+9^2=145\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{145}\)(cm)

Xét ΔABH vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(D là trung điểm của AB)

nên \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

nên \(HD=AD=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}cm\)

Nửa chu vi của tam giác ADH là: 

\(P_{ADH}=\dfrac{HD+AD+AH}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{145}}{2}+\dfrac{\sqrt{145}}{2}+8\right)}{2}=\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}cm\)

Diện tích của tam giác ADH là: 

\(S_{ADH}=\sqrt{P\cdot\left(P-AD\right)\cdot\left(P-AH\right)\cdot\left(P-DH\right)}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}-\dfrac{\sqrt{145}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}-\dfrac{\sqrt{145}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}-8\right)}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\sqrt{145}+8}{2}\cdot16\cdot\dfrac{\sqrt{145}-8}{2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{145-64}{2}\cdot16}\)

\(=\sqrt{\dfrac{81}{2}\cdot16}=18\sqrt{2}cm^2\)