Question

[Tạ Minh Trí]

Cho tam giác ABC cân ở A. .gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC 

a)Chứng minh: AN=NB

b)Chứng minh BE=CD

c)GỌi K là giao điểm của BE và CD. chứng minh tam giác KBC cân ở K

d)chứng minh AK là tia phân giác góc BAC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Sửa đề: AD=AE

Ta có: \(AD=DB=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

\(AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AD=DB=AE=EC

hay AD=AE(đpcm)

b) Xét ΔABE và ΔACD có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

AE=AD(cmt)

Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)

Suy ra: BE=CD(Hai cạnh tương ứng)

c) Xét ΔDBC và ΔECB có 

DB=EC(cmt)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)

Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)

nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)

d) Xét ΔBAK và ΔCAK có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AK chung

KB=KC(ΔKBC cân tại K)

Do đó: ΔBAK=ΔCAK(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AK nằm giữa hai tia AB,AC

nên AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)