Question

[Nguyễn Kiều Mỹ Loan]

Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G; gọi Q là điểm đối xứng của N qua G.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì tứ giác MNPQ hình gì? vì sao?                                                                      help me

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a)

Xét tứ giác MNPQ có 

G là trung điểm của đường chéo MP(gt)

G là trung điểm của đường chéo NQ(gt)

Do đó: MNPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) 

Xét ΔABC có 

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)

BM cắt CN tại G(gt)

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Định lí ba đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra: \(MG=\dfrac{1}{3}MB;BG=\dfrac{2}{3}MB;NG=\dfrac{1}{3}NC;CG=\dfrac{2}{3}NC\)(1)

Ta có: G là trung điểm của MP(gt)

nên MG=GP

mà \(MG=\dfrac{1}{3}MB\)

nên \(MG=GP=\dfrac{1}{3}MB\)

Ta có: MG+GP=MP(G nằm giữa M và P)

nên \(MP=\dfrac{1}{3}MB+\dfrac{1}{3}MB=\dfrac{2}{3}MB\)(1)

Ta có: G là trung điểm của NQ(gt)

nên \(GN=GQ=\dfrac{1}{3}NC\)

Ta có: NG+GQ=NQ(G là trung điểm của NQ)

nên \(NQ=\dfrac{1}{3}NC+\dfrac{1}{3}NC=\dfrac{2}{3}NC\)(2)

Ta có: \(AN=NB=\dfrac{AB}{2}\)(N là trung điểm của AB)

\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}\)(M là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔBAC cân tại A)

nên AN=NB=AM=MC

Xét ΔAMB và ΔANC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAM}\) chung

AM=AN(cmt)

Do đó: ΔAMB=ΔANC(c-g-c)

Suy ra: BM=CN(hai cạnh tương ứng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra NQ=MP

Hình bình hành MNPQ có NQ=MP(cmt)

nên MNPQ là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Answer 2

[Nguyễn Kiều Mỹ Loan]

cảm ơn bạn nha