Question

[Tố Quyên]

Cho tam giác ABC, các đường cao AF, BK, CL cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AB, từ C kẻ tia Cy vuông góc với CB. Gọi P là giao điểm của Ax và By.

a) Chứng minh AHCP là hình bình hành.

b) Lấy O là trung điểm của PB; D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA. Chứng minh tam giác ODE đồng dạng với tam giác HAB.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: AH⊥BC

CP⊥BC

Do đó: AH//CP

Ta có: CH⊥BA

AP⊥BA

Do đó: CH//AP

Xét tứ giác AHCP có

AH//CP

AP//CH

Do đó: AHCP là hình bình hành

b: AHCP là hình bình hành

=>AC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của AC
nên E là trung điểm của HP

Xét ΔPBC có

O,D lần lượt là trung điểm của BP,BC

=>OD là đường trung bình của ΔPBC

=>\(OD=\frac12CP=\frac12AH\)

Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>\(DE=\frac12AB\)

Xét ΔBHP có

O,E lần lượt là trung điểm của PB,PH

=>OE là đường trung bình của ΔBHP

=>\(OE=\frac12HB\)

Xét ΔODE và ΔHAB có

\(\frac{OD}{HA}=\frac{OE}{HB}=\frac{DE}{AB}\left(=\frac12\right)\)

Do đó: ΔODE~ΔHAB