Question

[phan tuấn anh]

cho tam giác ABC bất kì . chứng minh rằng \(1+\frac{1}{2}x^2\ge cosA+x\left(cosB+cosC\right)\) với mọi x thuộc R ( A;B;C là số đo 3 góc của 1 tam giác)   

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Ta có bất phương trình tương đương:

\(\Leftrightarrow x-2\left(\cos B+\cos C\right)x+2-2\cos A\ge0\)

Ta có:

\(\Delta'=\left(\cos B+\cos C\right)^2-2+2\cos A\)

\(=4\cos^2\left(\frac{B+C}{2}\right).\cos^2\left(\frac{B-C}{2}\right)-4\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\)

 \(=4\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\left(\cos^2\left(\frac{B-C}{2}\right)-1\right)\le0\)

Bên cạnh đó ta có hệ số \(a=1>0\)

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh là đúng.