Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tứ giác ABMC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180^0\)
Mà \(\widehat{ACM}+\widehat{MCE}=180^0\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCE}\)
D và E cùng nhìn CM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow CDME\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{MCE}=\widehat{MDE}\) (cùng chắn ME) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MDE}\)
Mặt khác D và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BFDM\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{FDM}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MDE}+\widehat{FDM}=180^0\Rightarrow\) D, E, F thẳng hàng
goi giao MF voi ABla H , giao ME voi AC la K, MD voi BC la I
Do tam giac ABC noi tiep (O) ma M thuoc (o) nen ABMC noi tiep
xet tam giac MDF co \(\hept{\begin{cases}H.la.trung.diem.MF\\I.la.trung.diem.DM\end{cases}\Rightarrow HI//DF}\) (1)
tuong tu cung co \(IK//ED\) va \(HK//EF\) ( do tinh chat duong trung binh) (2)
Xet tu giac HBIM co \(\widehat{BHM}+\widehat{BIM}=90+90=180^o\)
=> HBIM la tu giac noi tiep => \(\widehat{HIB}=\widehat{BMH}\) (cung chan \(\widebat{BH}\) ) (4)
tuong tu cung chung minh duoc tu giac MIKC la tu giac noi tiep => \(\widehat{KIC}=\widehat{KMC}\left(cung.chan.\widebat{KC}\right)\)(3)
Lai co \(\widehat{HBM}=\widehat{MAH}+\widehat{AMB}\) (tinh chat goc ngoai)
va \(\widehat{MCK}=\widehat{MCB}+\widehat{ACB}\)
ma ABMC noi tiep suy ra \(\hept{\begin{cases}\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\\\widehat{MAB}=\widehat{MCB}\end{cases}}\)
=> \(\widehat{MHB}=\widehat{MCK}\)
xet tam giac MHB va tam giac MKC co
\(\widehat{H}=\widehat{K}=90\)
\(\widehat{MHB}=\widehat{MCK}\) (cmt)
=> \(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) (5)
tu (3),(4),(5) =>\(\widehat{HIB}=\widehat{KIC}\)
=> H,I,K thang hang (6)
tu (1),(2),(6)
suy ra F,D,E thang hang ( tien de Oclit)
chuc ban hoc tot
b. Do tứ giác MDBE nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MBE}=\widehat{MBC}=\widehat{MDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(1)
Vì MD \(\perp\)AB tại D (gt) => \(\widehat{MDA}=90^o\)
MF \(\perp\)AC tại F (gt) => \(\widehat{MFA}=90^o\)
Xét tứ giác ADMF có: \(\widehat{MDA}+\widehat{MFA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADMF nội tiếp (dhnb)
=> \(\widehat{MDF}=\widehat{MAF}=\widehat{MAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MDF}\)=> D, E, F thẳng hàng (2 góc có cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại của 2 góc cùng nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau)
* Ta có: tứ giác MEFC nội tiếp (cmt) => \(\widehat{EFM}=\widehat{ECM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EM}\)\(\Leftrightarrow\widehat{DFM}=\widehat{BCM}\)(3)
tứ giác MDBE nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ME}\)\(\Leftrightarrow\widehat{MDF}=\widehat{MBC}\)(4)
Từ (3) và (4) => \(\Delta MDF\)đồng dạng với \(\Delta MBC\)(g.g) => \(\frac{MD}{MB}=\frac{MF}{MC}\Leftrightarrow MB\times MF=MD\times MC\)(đpcm)
c. Nối A với M, B với M
Ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\)(5)
Do tứ giác MEFC nội tiếp => \(\widehat{FME}=\widehat{FCE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EF}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\)(6)
Từ (5) và (6) => \(\widehat{AMB}=\widehat{FME}\)(7)
lại có: tứ giác ADMF nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MAD}=\widehat{MFD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MD}\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MFE}\)(8)
từ (7) và (8) => \(\Delta ABM\)đồng dạng với \(\Delta FEM\)(g.g) => \(\frac{AB}{FE}=\frac{AM}{FM}\Leftrightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{FE}{FM}\Leftrightarrow\frac{2\times AI}{AM}=\frac{2\times FK}{FM}\Leftrightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{FK}{FM}\)(9)
Lại có: \(\widehat{MAD}=\widehat{MFD}\)(CMT) => \(\widehat{MAI}=\widehat{MFK}\)(10)
Từ (9) và (10) => \(\Delta MAI\)đồng dạng với \(\Delta MFK\)(c.g.c) => \(\widehat{IMA}=\widehat{KMF}\)(11)
Ta có: \(\widehat{MID}\)là góc ngoài tại đỉnh I của \(\Delta MAI\)=> \(\widehat{MID}=\widehat{MAI}+\widehat{IMA}\)
Tương tự: \(\widehat{MKD}\)là góc ngoài tại đỉnh K của \(\Delta MFK\)=> \(\widehat{MKD}=\widehat{MFK}+\widehat{KMF}\)
Từ (10) và (11) => \(\widehat{MID}=\widehat{MKD}\)=> Tứ giác MDIK là tứ giác nội tiếp (DHNB) => \(\widehat{IDM}+\widehat{IKM}=180^o\)(Hệ quả)
Mà \(\widehat{IDM}=\widehat{ADM}=90^o\)=> \(\widehat{IKM}=90^o\)<=> MK vuông góc với KI (ĐPCM)
a: góc EMC+góc EFC=180 độ
=>EMFC nội tiếp
góc MDB=góc MEB=90 độ
=>MEDB nội tiếp
=>góc DBM=góc DEM
b: góc DEF=góc DEM+góc FEM
=180 độ-góc ABM+góc FCM
=180 độ
=>D,F,E thẳng hàng
Lời giải:
a)
Từ giả thiết suy ra \(MD\perp BC, ME\perp AC, MF\perp AB\)
\(\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{MDB}=\widehat{MDC}=\widehat{MEC}=90^0\)
Tứ giác $MDBF$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{MFB}+\widehat{MDB}=90^0+90^0=180^0\) nên $MDBF$ là tgnt.
Tứ giác $MDEC$ có \(\widehat{MDC}=\widehat{MEC}(=90^0)\) và cùng nhìn cạnh $MC$ nên $MDEC$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Vì $MDBF$ và $MDEC$ nội tiếp (cmt) và tứ giác $ABMC$ cũng nội tiếp $(O)$ nên:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{FDM}=\widehat{FBM}=180^0-\widehat{ABM}\\ \widehat{MDE}=180^0-\widehat{ECM}=180^0-\widehat{ACM}\\ \widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \widehat{FDE}=\widehat{FDM}+\widehat{MDE}=360^0-(\widehat{ABM}+\widehat{ACM})=360^0-180^0=180^0\)
\(\Rightarrow F,D,E\) thẳng hàng.
c)
Xét tam giác $BMD$ và $AME$ có:
\(\widehat{BDM}=\widehat{AEM}(=90^0)\)
\(\widehat{MBD}=\widehat{MAE}\) (góc nt cùng chắn cung CM)
\(\Rightarrow \triangle BMD\sim \triangle AME(g.g)\Rightarrow \frac{BD}{MD}=\frac{AE}{ME}(1)\)
Hoàn toàn TT: \(\triangle CMD\sim \triangle AMF(g.g)\Rightarrow \frac{CD}{MD}=\frac{AF}{MF}(2)\)
Xét tam giác $MEC$ và $MFB$ có:
\(\widehat{MEC}=\widehat{MFB}=90^0\)
\(\widehat{MCE}=\widehat{MBF}(=180^0-\widehat{ABM})\)
\(\Rightarrow \triangle MEC\sim \triangle MFB(g.g)\Rightarrow \frac{CE}{ME}=\frac{BF}{MF}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{BC}{MD}=\frac{BD}{MD}+\frac{CD}{MD}=\frac{AE}{ME}+\frac{AF}{MF}=\frac{AE+CE}{ME}+\frac{AF-FB}{MF}-\frac{CE}{ME}+\frac{BF}{MF}\)
\(=\frac{AC}{ME}+\frac{EB}{MF}\)
Ta có đpcm.
Hình vẽ: