Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn kiểm tra lại đề
\(z=max\left\{x;y;z\right\}\)hay \(z=min\left\{x;y;z\right\}\)
\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(x\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng (với x >= 0)
\(VT\ge\left(3x+3y\right).\frac{4}{3x+3y}=4\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
Sửa ĐK x, y > 0
Ta có : \(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+2y+2x+y}=\frac{4}{3x+3y}\)( Bunyakovsky dạng phân thức )
=> \(\left(3x+3y\right)\left(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\right)\ge\left(3x+3y\right)\left(\frac{4}{3x+3y}\right)=4\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
@Mai.T.Loan câu a pha cuối hơi tắt đó nhìn khó hiểu lắm
còn câu b kl sai r nha
Ta có: \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow x^3\le x^2;y^3\le y^2\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\) \((1)\)
Theo BĐT Cô-si ta có:
\(x^3+x^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}\ge3x^2.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(y^3+y^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}\ge3y^2.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Cộng vế: \(\Rightarrow2\left(x^3+y^3\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\ge3\left(x^2+y^2\right)\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow2\left(x^3+y^3\right)\ge\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3\le1\)
Từ giả thiết ta có: \(\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x^2\\y^3\le y^2\end{cases}}\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2\)
\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
\(1=\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le\sqrt{2}\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\le\left(x^2+y^2\right)\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3< 1\left(đpcm\right)\)
1.\(x=7+4\sqrt{3}\)
\(=\left(\sqrt{3}+2\right)^2\)
Thay x=\(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\), ta có:
\(A=\frac{3+\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}\)
2. \(B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(B=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}\left(đpcm\right)\)
3. \(\frac{B}{A}=\frac{\frac{-3}{2-\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}}=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
\(\frac{B}{A}< -1\Rightarrow\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< -1\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}+6+x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}< 0\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{x}-2< 0\)(Vì \(x-2\sqrt{x}+4>0\))
\(\Leftrightarrow-1< x< 2\)