Question

[Nguyễn Hồng Anh]

cho S=1+3¹+3²+3³+....+3³⁰ tìm chữ số tận cùng

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

ctv olm có mặt ạ!  Bài toán rất thú vị vì thông thường toán nâng cao, thi hsg thì cũng chỉ yêu cầu tìm chữ số  tận cùng của 1 lũy thừa chứ hiếm trường hợp yêu cầu ngóc ngách kiểu này!

ta có       S = 1 + 3¹ + 3² + 3³ +........+ 3³⁰ 

          ⇔ S = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ +.......+3³⁰

 xét dãy số 0; 1; 2; 3;......30

dãy số trên có số số hạng là (30 -0) : 1 + 1 = 31 (số )

vậy tổng S có 31 số hạng, mỗi số hạng đều là số lẻ vậy tổng S là số lẻ  (1)

Mặt khác ta lại có    S = 1 + 3¹ + 3² + 3³ +.....+3³⁰

                           3x S =       3 + 3²  + 3³ +.......+3³⁰ + 3³¹

                           3S - S = 3³¹ - 1

              2S = 3³¹ - 1  =  (3⁴)⁷ .3³ - 1 = \(\overline{...1}\)⁷ . 27 - 1 =  \(\overline{...6}\)

vì   2 x 3 = 6;   2 x 8 = 16    ⇒ S = \(\overline{...3}\)    hoặc S = \(\overline{....8}\)  

vì S là một số lẻ  đã chứng minh ở (1) vậy S = \(\overline{...3}\)

kết luận với S = 1+ 3¹ + 3² + 3³ +.......+ 3³⁰  thì S có chữ số tận cùng là 3