Question

[Mr Toán]

cho P_{(x)=\(\sqrt{\left(x^8+12x+12\right)}-3x\)} Gọi x₁ x₂là nghiệm phương trình x² -x-1=0. Chứng minh P(x₁)=P(x₂₎

Answer 1

[Mr Lazy]

Ý tưởng: Dùng máy tính ta tính được: \(P\left(x_1\right)=P\left(x_2\right)=4\) nên ta phân tích P(x) xuất hiện \(\left(x^2-x-1\right).h\left(x\right)+4\)thì 

\(P\left(x_1\right)=0.h\left(x_1\right)+4=0.h\left(x_2\right)+4=P\left(x_2\right)\)

Bài làm:

\(P\left(x\right)=\sqrt{x^8+12x+12}-\left(3x+4\right)+4\)\(=\frac{x^8+12x+12-\left(3x+4\right)^2}{\sqrt{x^8+12x+12}+\left(3x+4\right)}+4\)

\(=\frac{x^8-9x^2-12x-4}{\sqrt{x^8+12x+12}+3x+4}+4\)

\(=\frac{\left(x^2-x-1\right)\left(x^6+x^5+2x^4+3x^3+5x^2+8x+4\right)}{\sqrt{x^8+12x+12}+3x+4}+4\)

Ta có: \(x_1^2-x_1-1=0;\text{ }x_2^2-x_2-1=0\)(do x₁; x₂ là nghiệm pt x² - x - 1 =0)

\(\Rightarrow P\left(x_1\right)=0+4=4;\text{ }P\left(x_2\right)=0+4=4\)

\(\Rightarrow P\left(x_1\right)=P\left(x_2\right)\text{ }\left(\text{đpcm}\right)\)

Lưu ý: Cách này chỉ làm được vì đã biết P(x₁) = P(x₂) = 4 nên phân tích được theo số 4. Nếu không có máy tính bỏ túi thì cần nghĩ theo hướng khác.

Answer 2

[Lê Nguyên THái]

úi dời !!Dài thế